Normalidad o Log-Normalidad de los Retornos Regulares

Question

Otra vieja pregunta en este sitio (¿Cómo simular precios de acciones con un Movimiento Browniano Geométrico?) me inspiró a hacer la siguiente pregunta: si asumimos que los rendimientos regulares pueden seguir una distribución normal, ¿no invalida completamente la idea detrás del modelo GBM?

Y viceversa, si nos gusta el modelo GBM y asumimos que los precios de las acciones están distribuidos de forma log-normal, ¿no implica eso que los rendimientos regulares no pueden seguir una distribución normal?

Específicamente:

Denotemos $R_i$ como rendimientos regulares y supongamos que estos siguen una distribución normal:

$$R_i=\frac{S_{i+1}-S_i}{S_i}=\mu \Delta t + \sigma W(t)$$.

Denotemos $r_i$ como log-rendimientos, definidos como $r_i = ln \left( \frac{S_{i+1}}{S_i} \right)$. Entonces:

$$ R_i = e^{r_i} - 1 $$

$$ r_i=ln(R_i+1) $$

Si asumimos que $R_i$ sigue una distribución normal, entonces $ln(R_i+1)$ es indefinido, porque la distribución Normal produce valores negativos y $ln(negativo)$ es indefinido.

(Editar: como se menciona en los comentarios a continuación, ahora me doy cuenta de que este es un pensamiento "estúpido" ya que los rendimientos regulares están trivialmente limitados por debajo de -1, por lo que el logaritmo nunca puede ser negativo: inicialmente me centré solo en la idea hipotética de que los rendimientos regulares estuvieran distribuidos normalmente, es decir, sin límites.

Sin embargo, el siguiente punto sigue siendo válido: si se $R_i$ se asume aproximadamente distribuido "normalmente" pero limitado por debajo de -1, entonces $ln(R_1 +1)$ tampoco será distribuido logarítmicamente, por lo que se mantiene la afirmación de que "asumir que $R_i$ sigue una distribución normal invalida las suposiciones del modelo GBM").

Así que, según este razonamiento, los creyentes en el modelo GBM argumentarían: los rendimientos regulares no pueden seguir una distribución normal, porque nos gusta la idea de que los precios de las acciones sean log-normal (es decir, nos gusta que la distribución futura del precio de las acciones condicionada al valor de hoy sea log-normal: no puede ser negativa y no tiene un límite superior, lo que refleja el comportamiento del mundo real que esperaríamos de las acciones). Por lo tanto, basándonos en el modelo GBM, los rendimientos regulares deben distribuirse de forma log-normal (desplazados por "-1").

Razonando en sentido contrario, estoy bastante seguro de que he visto algunos documentos (disculpas, no tengo un enlace y no recuerdo el nombre de los autores) que argumentan que la evidencia empírica sugiere que los rendimientos regulares siguen una distribución normal. De hecho, solo un pensamiento filosófico rápido: ¿por qué no deberían hacerlo? Los seres humanos utilizan rendimientos regulares para analizar inversiones, NO los rendimientos logarítmicos. Parecería sensato pensar en un principio que estos rendimientos regulares pueden ser negativos, así como positivos, con una gran masa de probabilidad centrada en cero (o inflación, si $\mu$\= inflación): es decir, una distribución "normal". Por lo tanto, si consideramos la idea de que los rendimientos regulares siguen una distribución normal, eso parecería invalidar la idea del modelo GBM.

Answer 1

Tienes razón, pero un GBM no asume que los rendimientos porcentuales están distribuidos normalmente. Se trata de los logaritmos de los rendimientos.

• Si el logaritmo de retorno $r_t=\ln\left(\frac{S_{t+dt}}{S_t}\right)$ está distribuido normalmente (suposición de GBM), entonces $r_t$ puede ser cualquier número arbitrariamente grande (positivo o negativo) con probabilidad positiva. Esto también implica que los precios de las acciones están distribuidos de forma log-normal.
• Ahora, $\tilde{R}_t=e^{r_t}=\frac{S_{t+dt}}{S_t}$ es el rendimiento bruto, que obviamente es positivo.
• Sea $R_t=\tilde{R}_t-1$ el rendimiento porcentual, que está limitado por debajo por $-1$ como se mencionó anteriormente.

Si asumimos que $\mathrm{d}S_t=\mu S_t\mathrm{d}t+\sigma S_t\mathrm{d}B_t$, sabemos que $r_t$ está distribuido normalmente. Sin embargo, $R_t=f(r_t)$ con $f(r)=e^r-1$ no está distribuido normalmente. Simplemente deriva la distribución para $R_t$ y compárala con la densidad log-normal.

Por lo tanto, las suposiciones de un GBM no conducen a que los rendimientos porcentuales estén distribuidos normalmente. Todo lo contrario, están limitados por debajo por $-100\%$ (no se puede perder más de lo invertido). Así que, $r_t=\ln(R_t+1)$ solo podría ser un problema si $R_t=-100\%$, pero ni siquiera eso puede ocurrir realmente en un mundo de GBM: esto requeriría que el precio de la acción sea cero en el futuro (quiebra). Pero el rango de una variable aleatoria distribuida log-normalmente es $(0,\infty)$, tiene que ser estrictamente positivo. Por lo tanto, si $r_t$ es normal (GBM es verdadero), entonces $R_t>-1$ y $r_t=\ln(R_t+1)$ no presenta un problema.

Hago un último punto

• No creería ni por un segundo que algún tipo de rendimiento esté distribuido normalmente (piensa en colas gordas, asimetría, heterocedasticidad, etc.). Mandelbrot y Fama ya trabajaron en rendimientos no distribuidos normalmente en la década de 1960...

Answer 2

El retorno $R_i$ expresado en $$R_{i+1,i}=\frac{S_{i+1}-S_i}{S_i}=\mu \Delta t + \sigma \Delta W(t_{i+1},t_i)$$ no es posible.

Para ver esto, veamos los retornos durante dos pequeños pasos de tiempo de $\Delta t$ cada uno. Entonces $$R_{i+2,i+1}=\frac{S_{i+2}-S_{i+1}}{S_{i+1}}= \mu \Delta t + \sigma \Delta W(t_{i+2},t_{i+1})$$ pero $$R_{i+2,i}=\frac{S_{i+2}-S_{i}}{S_{i}}= 2 \mu \Delta t + \sigma \Delta W(t_{i+2},t_{i})$$ Mientras que el lado derecho es aditivo, el izquierdo no lo es porque $$R_{i+2,i} \neq (R_{i+2,i+1} + R_{i+1,i})$$.

Para el log retorno $r_{i+1,i}$, $$ r_{i+1,i} = \ln\frac{S_{i+1}}{S_i}$$ sin embargo, no hay tal problema porque por virtud de la regla del producto logarítmico $$ r_{i+2,i} = ( r_{i+2,i+1} + r_{i+1,i} ) $$ se cumple.

Así que el $R_{i+1,i}$ no puede ser distribuido normalmente con deriva.