No serán lo mismo.
Si ejecuta una simulación discreta, obtendrá el proceso de precios real (o una instancia de una trayectoria real) para el valor futuro de la acción utilizando la medida de probabilidad real.
Si se hace lo mismo utilizando la solución de forma cerrada, la trayectoria será muy parecida pero se desviará hacia abajo.
¿Por qué son diferentes?
Para verlo fácilmente, construye un modelo de hoja de cálculo con un gráfico que muestre tanto la trayectoria real como la modelada (siendo esta última la que tiene $e^{r-\sigma^2/2)}$ . Entonces, añada un 5% para $r$ (o $\mu$ son lo mismo). A continuación, ejecútelo con $\sigma=0$ y quizás $\sigma=40\%$ .
Estará claro que sin riesgo ( $\sigma=0$ ) la ruta es simplemente $S_t=B_0e^{rt}$ , donde $B_0$ es el precio del bono en el momento $t=0$ . Su valor se desplaza hacia arriba para devolver el tipo libre de riesgo en un solo periodo (un año). Esto tiene sentido.
Sin embargo, con $\sigma=40\%$ el proceso de precio modelado para una acción que comienza en el precio $B_0$ deriva hacia abajo .
El objetivo de una medida y un modelo de riesgo neutro es descontar las cantidades futuras por el tipo de riesgo neutro, o libre de riesgo. No lo hace real, ni hace que el rendimiento esperado de las acciones sea el mismo que el de un bono. Sólo lo hace consistente.
Así que imagina una acción con un precio inicial de $S_0$ . Si la acción tiene un riesgo más alto que el bono (que debe ser así) y los inversores en equilibrio han ofertado el precio hasta un punto en el que se espera que tenga una rentabilidad mayor que el bono para compensar el riesgo, debe ser que la acción tenga un precio con descuento respecto al bono si los inversores esperan que el valor futuro sea igual. Así, si los inversores esperan $B_{t=1}=S_{t=1}$ entonces $S_0<B_0$ . En esencia, las acciones cotizan hoy con un descuento respecto al bono.
La solución de forma cerrada lo hace todo en el espacio neutral de riesgo. Así que si empezamos con $S_0=B_0$ la trayectoria de los precios de los bonos $B_t$ debe descontar de nuevo a $B_0$ cuando se utiliza el tipo sin riesgo. En consecuencia, el valor futuro de las acciones en ese momento debe ser inferior a $B_t$ para que se descuente a un valor inferior en $t=0$ utilizando $r$ como el tipo de descuento para obtener una rentabilidad que compense el riesgo.
Sencillamente, si se "adelanta" una simulación, la acción superará al bono por término medio, pero si se observa un modelo de precios bajo la neutralidad del riesgo, la trayectoria debe ser tal que al descontar los valores futuros al día de hoy deben dar un valor justo hoy para la acción.
Esto es un poco de prestidigitación matemática, pero todo resulta igual. Así, por ejemplo, si $B_0=100$ y $r=5%$ el valor futuro del bono en un año es 105, y su valor actual es 100. Pero el valor futuro de la acción debe parecer un número menor (digamos, quizás, 94) para que el precio de hoy, $S_0$ es tal vez 89 o algo así.
La solución de forma cerrada no le da la actual modelo de precios. Le ofrece un modelo de precios futuros que le permite fijar el precio de una acción como si la tasa libre de riesgo puede utilizarse para descontar el valor futuro y obtener el valor presente correcto. En realidad, se trata del mismo modelo, pero expresado de forma diferente.
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Esta pregunta es realmente cerca de ser off-topic, pero puede ser interesante para los usuarios posteriores, así que lo contestaré igualmente.
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@SRKX, por cierto, ¿por qué esta pregunta estaría cerca de ser off-topic? Me parece más acertada que el 30%-40% de todas las demás preguntas formuladas recientemente. Te sorprenderá la cantidad de profesionales del mercado que no pueden responder a esta pregunta aparentemente sencilla, incluso los que están en el lado de los derivados y los productos exóticos.
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@Freddy pues GBM es el proceso más básico utilizado en las finanzas Quant. Si no conoces su forma cerrada y discreta, es poco probable que seas un profesional quant (puede ser un comerciante, o algo más...) que es el nicho objetivo de los usuarios. Pero aun así la he contestado, porque puede ser útil y así podemos cerrar otras preguntas relacionadas con el tema y remitirnos a esta.
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@SRKX, entiendo tu punto de vista, pero entonces puede que mis preguntas del 30-40% tampoco cumplan los requisitos. Veo toneladas de preguntas del tipo "cuál es la mejor fuente de datos para xyz" que pasan el "filtro". Sólo quería entender cómo se filtran las preguntas
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@SRKX, ¿cuál es el beneficio para el usuario para registrarse (pensé que se registró con tener una cuenta). Como puedes ver no he hecho ni una sola pregunta aquí, sino que sólo he tratado de responder a las preguntas. (Yo saciar mi sed en Stackoverflow en términos de hacer preguntas ;-)
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@Freddy hacemos lo posible por cerrar el que encontramos off-topic, quizás alguno haya pasado. Sobre el registro, estuve hablando con el usuario que escribió la pregunta, y ayuda en las estadísticas de Area51 para salir de la beta.
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@ Freddy mh, no soy un quant profesional, estoy estudiando estadística msc y quiero trabajar en la industria financiera, pero mis conferencias en este tema en la universidad realmente apesta, no explican nada y sólo patadas fórmulas, es por eso que trato de entender lo que la fórmula está haciendo realmente y la diferencia.....no, no hice matemáticas antes......
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Vea si puede conseguir un ejemplar del libro de Glasserman Monte Carlo Methods in Financial Engineering, verdaderamente una obra maestra en muchos aspectos.