Es posible que en virtud de Black-Scholes: $\ln S_{T} \sim N \left ( \ln S_t - \frac{1}{2}\sigma^2(T-t), \sigma^2(T-t) \right )$

Question

Tengo una diapositiva en la que hay escrito que bajo el modelo Black-Scholes:

$$\ln S_{T} \sim N \left ( \ln S_t - \frac{1}{2}\sigma^2(T-t), \sigma^2(T-t) \right )$$

Ahora, aquí hay una buena explicación sobre el por qué:

$$\ln{\frac{S_{T}}{S_t}} \sim N\left ((\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)(T-t), \sigma^2 (T-t) \right )$$

pero esto no resuelve mi problema. De hecho, no veo cómo se puede obtener a partir de la segunda ecuación a la primera. Yo creo que hay algo mal. Estoy en lo cierto?

Answer 1

A partir de el modelo Black-Scholes que $$ \dfrac{dS}{S} = \mu \:dt + \sigma\:dW_t $$ donde $W_t$ es un estándar de movimiento Browniano, y $\sigma$ y $\mu$ son constantes donde $\sigma > 0$. Aquí $W_t$ es un movimiento Browniano en virtud de la medida física $\mathbb{P}$. A continuación, podemos utilizar el teorema de Girsanov a cambio de que la medida de riesgo neutral medida $\mathbb{Q}$ donde podemos ahora tengo $\mu \r$, pero esto requiere de $\sigma \neq 0$.

El uso de cálculo estocástico que nos puede escribir a la derecha de la anterior como un proceso estocástico $dX_t$ y, a continuación, podemos resolver este trivialmente por el uso de la Dolean estocástico exponencial, donde si tenemos nuestros límites de integración que deben ser del dominio $[t,T]$, a continuación, recuperamos $$ S_T = S_t \exp \left( \left(r - \dfrac{\sigma^2}{2}\right)(T-t) + \sigma(W_T - W_t)\derecho). $$ Ahora observamos que $S_T$ tiene un registro de distribución normal con

$$ \log(S_T) \sim N\left(\log(S_t) + \left(r - \dfrac{\sigma^2}{2}\right)(T-t), \sigma^2(T-t)\derecho) $$ A continuación, podemos de-la media de ambos lados por $\log(S_t)$ donde $$ \log(S_T) - \log(S_t) \sim N\left(\log(S_t) + \left(r - \dfrac{\sigma^2}{2}\right)(T-t), \sigma^2(T-t)\derecho) - \log(S_t) $$ $$ \log\left(\dfrac{S_T}{S_t}\derecho)\sim N\left(\left(r - \dfrac{\sigma^2}{2}\right)(T-t), \sigma^2(T-t)\derecho) $$ Si podemos entonces considerar el caso donde $r=0$, a continuación, recuperamos las ecuaciones que aparecen en la pregunta. Los aspectos sutiles de lo anterior son:

• Saber cómo integrar un proceso estocástico correctamente.
• Saber aplicar el teorema de Girsanov para cambiar la medida de $\mathbb{P} \to \mathbb{Q}$ tal que en nuestras ecuaciones $\mu \r$.

Espero que esto ayude.

Answer 2

Gracias a @Phun y @oliversm he resuelto el problema. Así que voy a postear aquí la solución en caso de que alguien la va a necesitar.

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En virtud de Black-Scholes activos dinámica está determinada por un Movimiento Browniano Geométrico, y podemos definir el precio de un valor en el tiempo $t+\Delta t$ como:

$$S_{t+\Delta t}=S_{t}\exp\left(\left(r-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)\Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t}\varepsilon\derecho)\qquad\varepsilon\sim N(0,1)$$

la definición de $T=t+\Delta t$ y a la sustitución del anterior conduce a:

$$S_{T}=S_{t}\exp\left(\left(r-\frac{1}{2}\sigma^{2}\right)\left(T-t\right)+\sigma\sqrt{T-t}\varepsilon\right)\qquad\varepsilon\sim N(0,1)$$

Ahora, en virtud de riesgo neutral probabilidad de fijación de precios de la deriva plazo $\mu$ puede ser reemplazado con la tasa de interés, y la configuración de $r=0$ conduce a:

$$S_{T}=S_{t}\exp\left(-\frac{1}{2}\sigma^{2}\left(T-t\right)+\sigma\sqrt{T-t}\varepsilon\right)\qquad\varepsilon\sim N(0,1)$$

Siguiendo el procedimiento que se ilustra aquí, es fácil demostrar que:

$$\frac{S_{T}}{S_{t}}\sim\ln N\left(-\frac{1}{2}\sigma^{2}\left(T-t\derecho)\sigma^{2}\left(T-t\right)\derecho) $$

o lo que es equivalente:

$$\ln S_{T}\sim N\left(-\frac{1}{2}\sigma^{2}\left(T-t\derecho)\sigma^{2}\left(T-t\right)\right)$$

En este punto vamos a definir $S = \ln (S_T / S_t) = \ln(S_T) - \ln(S_t)$. $S_t$ es conocido en tiempo $t$, por lo que podemos agregar $\ln S_t$ a $S$. $S+\ln S_t$ se distribuye normalmente con una media de:

$$\ln S_t-\frac{1}{2}\sigma^{2}\left(T-t\right)$$

y la varianza:

$$\sigma^{2}\left(T-t\right)$$

Así:

$$S+\ln S_{t}\sim N\left(\ln S_{t}-\frac{1}{2}\sigma^{2}\left(T-t\derecho)\sigma^{2}\left(T-t\right)\right)$$

Pero desde $S+\ln(S_t)=\ln(S_T)$ se deduce que:

$$\ln S_{T}\sim N\left(\ln S_{t}-\frac{1}{2}\sigma^{2}\left(T-t\derecho)\sigma^{2}\left(T-t\right)\right)$$