No entiendo por qué en la fórmula $$\log{\frac{S_{t+\triángulo t}}{S_t}} \sim \phi{\left((\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)\triángulo t, \sigma^2 \triángulo t\right)}$$ la media es de $(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)\triángulo t$ y no solo $\mu \triángulo t$. Soy consciente de que se supone que representa una distribución logarítmico-normal, pero supongo que me falta algo, o que la explicación no es tan simple.
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penti
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Otra forma de verlo es que el $-\frac12\sigma^2$ es sólo un término de corrección que viene de la desigualdad de Jensen.
Usted necesita esta cuando se cambia de supuestamente simétrica devuelve (distribución normal) a la sesgada precio de proceso (log-normal de distribución).
Así tenemos el BS-Modelo
$$dS_t=S_t(\mu dt +\sigma dW_t)$$
W. l.o.g asumimos $S_0=1$. Itô del lema implica que
$$S_t=\exp{(\sigma W_t+(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)t)}$$
Sabemos que $W_t$ está normalmente distribuida con una media de $0$ y variación $t$. Ahora eche un vistazo a la r.v.
$$X_t=\sigma W_t+(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)t$$
$\sigma W_t$ es la parte aleatoria y $\gamma:=(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)t$ es determinista. Por lo tanto $E[X_t]=\sigma E[W_t]+\gamma=\sigma\cdot 0+\gamma=\gamma$. También tenemos la regla de los $Var(Y+a)=Var(Y)$, para las constantes de $a$ e a r.v. $Y$. Por lo tanto la varianza de $X_t$ está dada por $\sigma^2t$.
Por las propiedades de los $\exp(x) función$, tenemos
$$\frac{S_{t+\Delta t}}{S_t}=\exp{(\sigma(W_{t+\Delta t}-W_t)+(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2})(t+\Delta t-t))=\exp{(\sigma(W_{t+\Delta t}-W_t)+(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2})\Delta t)$$
Se puede aplicar el mismo argumento como para $X_t$, con $W_{t+\Delta t}-W_t\sim\mathcal{N}(0,\Delta t)$.
Por qué debe ser la distribución lognormal debe ser clara. Déjeme saber si algo no está claro para usted.
Markus Olsson
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12651
El término 1/2 * sigma-cuadrado surge a través de la aplicación del Lema de Ito. Tenga en cuenta que la asunción es de un precio de las acciones que sigue geométricas BM con una constante deriva y la volatilidad. Si configura un delta-cartera de coberturas y aplicar Ito de cálculo que va a terminar con un ajuste en la distribución por exactamente por encima de plazo. Otra forma de interpretar el término que representa la diferencia entre la media y la mediana de la log-normal de distribución.
No tengo el libro conmigo ahora, pero Steven Shreve en su Estocástico Cálculo II libro tiene uno de los más lógica y fácil de entender derivaciones de Black Scholes a través del cambio de la probabilidad de medir y se hará el cambio en la media de claro como el cristal.
Yo no soy un gran fan de la publicación de largo fórmulas ni soy un matemático por el corazón, por lo que por favor, eche un vistazo a la citada referencia.
Hazz
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6
Puede referirse a Shreve del libro, Volumen II, Sección 4.4.3 .
Imaginemos que tenemos una generalizada movimiento Browniano geométrico $$dX_t = \sigma_t dW_t + (\alpha_t - \frac{1}{2} \sigma_t^2) dt ,$$ donde el coeficiente de deriva y la volatilidad son funciones de $t$ también. $(dX_t)^2 = \sigma_t^2 dt + \mathcal{S}(dt^{3/2})$ .
Suponga que el precio del activo es $$ S_t = S_0 e^{X_t} = S_0 e^{\int_0^t \sigma_s dW_s + \int_0^t \alpha_s - \frac{1}{2} \sigma_s^2 ds} .$$
Vamos a $S_t = f(X_t)$ y aplicar Ito lema a $df(X_t)$. Tenga en cuenta que $f(x) = S_0 e^{x}$ y $\partial_x f = S_0 e^{x} = \partial^2_x f$. $$dS_t = df(X_t) = \partial_x f(X_t) dX_t + \frac{1}{2} \partial^2_x f(X_t) dX_t^2 = \alpha_t S_0 e^{X_t} dt + \sigma_t S_t dW_t ,$$ o $$ \frac{dS_t}{S_t} = \alpha_t dt + \sigma_t dW_t .$$
En otras palabras, para que varían con el tiempo deriva $\alpha_t$ y la volatilidad de los $\sigma_t$, $ S_t = S_0 \exp\left(\int_0^t \sigma_s dW_s + \int_0^t \alpha_s - \frac{1}{2} \sigma_s^2 ds \right)$ es la solución a la ecuación diferencial estocástica $\frac{dS_t}{S_t} = \alpha_t dt + \sigma_t dW_t$.
Tenga en cuenta que, si $\alpha = 0$ y $\sigma_t = \sigma$, $Z_t = \exp \left( \sigma W_t - \frac{1}{2} \sigma^2 t\right)$ es una martingala.
