FX Convocatoria en el marco estocástico tasas y determinista de la volatilidad

Question

Permite denotar $S_t$, $r^d_t$,$r^f_t$ , respectivamente, el FX spot, el tipo interior y el exterior de la tasa en el tiempo $t$.

Permite a $\mathbb{Q}^d$ , $\mathbb{Q}^f$ , respectivamente, serán los nacionales y extranjeros mesures, y supongamos que las tasas de la siguiente manera Casco blanco y dinámica y que el FX spot seguir un logarítmico-normal-como la difusión con la constante volatilidad.

Por lo tanto, tenemos las siguientes ecuaciones : $$dr_t^d=(a^d+\lambda_dr_t^d)dt+\sigma_ddW_t^d \text{ bajo }\mathbb{Q}^d$$ $$dr_t^f=(a^f+\lambda_fr_t^f)dt+\sigma_ddW_t^f \text{ bajo }\mathbb{Q}^f$$ $$ dS_t=(r^d_t-r^f_t)S_tdt+\sigma^{cst}S_tdW_t \text{ bajo }\mathbb{Q}^d$$

con $$dW_t^ddW_t^f=\rho_1dt$$ $$dW_t^ddW_t=\rho_2dt$$ $$dW_tdW_t^f=\rho_3dt$$

Pregunta: Hay un cerrado fórmula de solución para el precio de una moneda llamada opción dentro de este sistema de ecuaciones ? Me gustaría estudiar el impacto de las correlaciones en el precio de la opción y ver qué impacto tiene en la cerrada de la fórmula para el cambio de divisas opción call obtenidos bajo el modelo Black-scholes. Uno puede notar el parecido con el caso de la equidad de la llamada opción debajo de black-scholes con estocásticos de tipos de interés que ya se haya respondido en un post anterior.

Gracias !

Answer 1

Considere la opción de compra con pago $(S_T-K)^+$ en la opción de madurez $T$. Tenga en cuenta que el tipo de cambio a futuro \begin{align*} F(t, T) = S_t \frac{P^f(t, T)}{P^d(t, T)} \end{align*} es una martingala bajo el doméstico $T$-adelante probabilidad de medida $P^T$, donde $P^d(T, T)$ y $P^f(T, T)$ son los precios en el tiempo $t$ de los respectivos nacionales y extranjeros bonos de cupón cero con vencimiento $T$ y la unidad de cara valores. Como en esta pregunta, vamos a \begin{align*} B_a(t, T) = \frac{1}{\lambda_a}\Big(e^{\lambda_a(T-t)}-1 \Big), \end{align*} para $a=d$ e $f$. A continuación, en $P^T$, \begin{align*} \frac{d F(t, T)}{F(t, T)} &= -\sigma_f B_f(t, T) dW_t^f + \sigma_d B_d(t, T) dW_t^d + \sigma^{cst} dW_t. \end{align*} Aquí, nosotros usamos las mismas notaciones para las respectivas Browniano movimientos. Deje que $\sigma$ ser una cantidad definida por \begin{align*} T \sigma^2 &= \int_0^T\Big(\left(\sigma_f B_f(t, T)\derecho)^2 + \left(\sigma_d B_d(t, T)\derecho)^2 + (\sigma^{cst})^2 \\ &\qquad\qquad - 2 \sigma_d\sigma_f\rho_1 B_d(t, T)B_f(t, T) - 2 \rho_3 \sigma^{cst} \sigma_f B_f(t, T) + 2\rho_2 \sigma^{cst} \sigma_d B_d(t, T)\Big) dt. \end{align*} Entonces, el valor de la opción está dada por \begin{align*} P^d(0, T)E_{Q^T}\left((F(T, T)-K)^+\derecho) &=P^d(0, T)\Big[F(0, T)N(d_1) KN(d_2) \Big], \end{align*} donde $d_1 = \frac{\ln F(0, T)/K + \frac{1}{2}\sigma^2 T}{\sigma \sqrt{T}}$ y $d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}$.