Black-Scholes bajo estocásticos de tipos de interés

Question

Estoy tratando de implementar la fórmula Black-Scholes para que el precio de una opción de bajo estocásticos de tipos de interés. Siguiendo el libro de McLeish (2005), la fórmula está dada por (suponiendo que las tasas de interés no aleatorio, es decir, conocidos):

$E[exp\{-\int_0^Tr_t dt\}(S_T-k)^+]$

=$E[(S_0 exp\{N(-0.5\sigma^2,\sigma^2T)\}-exp\{-\int_0^Tr_tdt\}K)^+]$

=$BS(S_0,k,\bar{r},T,\sigma)$

donde $\bar{r}=\frac{1}{T}\int_0^Tr_tdt$ es el promedio de la tasa de interés durante la vida de la opción .

Si las tasas de interés son al azar, "que aún podemos usar la fórmula Black-Scholes por primera acondicionado en las tasas de interés, por lo que

$E[e^{-\bar{r}T}(S_T-K)^+|r_s, 0<s<T]= BS(S_0,K,\bar{r},T,\sigma)$

y, a continuación, calcular la incondicional valor esperado de esta mediante la simulación de los valores de $\bar{r}$ y un promedio".

No estoy seguro de cómo puedo calcular $\bar{r}$ dado muestras simuladas caminos.

Answer 1

Suponemos que la tasa de interés de corto $r_t$ sigue el Casco Blanco de modelo, es decir, la tasa de corto $r$ y el precio de las acciones $S$ satisface un sistema de SDEs de la forma $$\begin{align*} dr_t &= (\theta_t -a\, r_t)dt + \sigma_0 dW_t^1,\\ dS_t &= S_t\Big[r_t dt + \sigma \Big(\rho dW_t^1 + \sqrt{1-\rho^2} dW_t^2\Big)\Big], \end{align*}$$ donde $a$, $\sigma_0$, $\sigma$ y $\rho$ son constantes, y $\{W_t^1, t\ge 0\}$ y $\{W_t^2, t\ge 0\}$ son dos independientes estándar Browniano movimientos.

Tenga en cuenta que, $$\begin{align*} &\ E\bigg(\exp\Big(-\int_0^T r_t dt \Big) (S_T-K)^+\bigg) \\ =& \ E\bigg(e^{-\bar{r}T} \Big(S_0e^{\bar{r}T -\frac{1}{2}\sigma^2 T - \sigma \big(\rho W_T^1 + \sqrt{1-\rho^2}W_T^2\big)} -K\Big)^+ \bigg)\\ =& \ E\Bigg(E\bigg(e^{-\bar{r}T} \Big[S_0e^{\bar{r}T -\frac{1}{2}\sigma^2 T + \sigma \big(\rho W_T^1 + \sqrt{1-\rho^2}W_T^2\big)} -K\Big]^+ \Bigg\vert r_s, 0<s \leq T\bigg)\Bigg)\\ =& \ E\Big(F(S_0,K,\bar{r},T,\sigma, W_T^1) \Big\vert r_s, 0<s \leq T\Big), \end{align*}$$ para una determinada función $F$. Nota de la variable aleatoria $W_T^1$ en la fórmula.

Si $\rho=0$, es decir, $S$ y $r$ son independientes, entonces $$\begin{align*} &\ E\bigg(\exp\Big(-\int_0^T r_t dt \Big) (S_T-K)^+\bigg) \\ =& \ E\Bigg(E\bigg(e^{-\bar{r}T} \Big(S_0e^{\bar{r}T -\frac{1}{2}\sigma^2 T + \sigma W_T^2} -K\Big)^+ \bigg\vert r_s, 0<s \leq T\bigg)\Bigg)\\ =&\ E\Big(BS(S_0,K,\bar{r},T,\sigma) \Big\vert r_s, 0<s \leq T \Big). \end{align*}$$ Es decir, la fórmula proporcionada en la pregunta vale si el precio de las acciones y la tasa de interés son independientes. En este caso, $\bar{r}$ se puede aproximar por una suma de Riemann.

EDITAR

Aquí, ofrecemos una analítica fórmula de valoración por encima de la vainilla de la opción Europea. A partir de esta pregunta, el bono cupón cero de los precios está dada por $$\begin{align*} P(t, T) &= E\a la izquierda(e^{-\int_t^T r_s ds} \Big\vert \mathcal{F}_t \derecho)\\ &=\exp\left(-B(t, T) r_t - \int_t^T \theta(s) B(s, T) ds + \frac{1}{2}\int_t^T \sigma_0^2 B(s, T)^2 ds\derecho), \end{align*}$$ donde $$\begin{align*} B(t, T) = \frac{1}{a}\Big(1-e^{-a(T-t)} \Big). \end{align*}$$ Entonces $$\begin{align*} d\ln P(t, T) &=-e^{-a(T-t)}r_tdt -B(t, T)dr_t + \theta(t)B(t, T)dt - \frac{1}{2} \sigma_0^2 B(t, T)^2 dt\\ &=\left(r_t-\frac{1}{2} \sigma_0^2 B(t, T)^2\derecho) dt - \sigma_0 B(t, T)dW_t,\etiqueta{1} \end{align*}$$ o $$\begin{align*} \frac{dP(t, T)}{P(t, T)} = r_t dt - \sigma_0 B(t, T)dW_t. \end{align*}$$

Deje que $Q$ denotar el riesgo-neutral medir y $P^T$ denotar el $T$-adelante la medida. Por otra parte, vamos $B_t = e^{\int_0^t r_s ds}$ ser el mercado de dinero a valor de la cuenta. De $(1)$, $$\begin{align*} \frac{dQ^{T}}{dQ}\Bigg|_t &= \frac{P(t, T)B_0}{P(0, T)B_t}\ \ (\text{con } B_0=1) \\ &=\exp\left(-\frac{1}{2}\int_0^t \sigma_0^2 B(s, T)^2 ds - \int_0^t \sigma_0 B(s, T) dW_s\derecho). \end{align*}$$ Entonces por el teorema de Girsanov, por debajo de los $P^T$, el proceso de $\{(\widehat{W}_t^1, \widehat{W}_t^2), t \ge 0 \}$, donde $$\begin{align*} \widehat{W}_t^1 &= W_t^1 + \int_0^t \sigma_0 B(s, T) ds,\\ \widehat{W}_t^2 &= W_t^2, \end{align*}$$ es un estándar de dos dimensiones el movimiento Browniano. Por otra parte, por debajo de los $P^T$, $$\begin{align*} \frac{dP(t, T)}{P(t, T)} &= r_t dt - \sigma_0 B(t, T)dW_t^1 \\ &=\big(r_t +\sigma_0^2 B(t, T)^2\big)dt - \sigma_0 B(t, T)d\widehat{W}_t^1 \\ \frac{dS_t}{S_t} &= r_t dt + \sigma \Big(\rho dW_t^1 + \sqrt{1-\rho^2} dW_t^2\Big) \\ &=\big(r_t- \rho\sigma_0\sigma B(t, T)\big) dt + \sigma \Big(\rho d\widehat{W}_t^1 + \sqrt{1-\rho^2} d\widehat{W}_t^2\Big).\la etiqueta{2} \end{align*}$$

Tenga en cuenta que, el precio a plazo de $F(t, T)$ tiene la forma $$\begin{align*} F(t, T) &= E_{Q^T}(S_T \mid \mathcal{F}_t)\\ &=\frac{S_t}{P(t, T)}. \end{align*}$$ que es una martingala bajo los $T$-adelante de la medida $P^T$ y satisface el SDE de la forma $$\begin{align*} dF(t, T) &= \frac{dS_t}{P(t, T)} -\frac{S_t}{P(t, T)^2}dP(t, T) \\ &\qquad - \frac{d\langle S_t, P(t, T)\rangle}{P(t, T)^2} + \frac{S_t}{P(t, T)^3}d\langle P(t, T), P(t, T)\rangle\\ &= F(t, T)\left[\sigma \Big(\rho d\widehat{W}_t^1 + \sqrt{1-\rho^2} d\widehat{W}_t^2\Big) + \sigma_0 B(t, T)d\widehat{W}_t^1 \right]\\ &= F(t, T) \left[ \big(\sigma\rho + \sigma_0 B(t, T)\big) d\widehat{W}_t^1 + \sigma \sqrt{1-\rho^2} d\widehat{W}_t^2 \derecho]. \end{align*}$$ Deje que $\hat{\sigma}$ ser una cantidad definida por $$\begin{align*} T\hat{\sigma}^2 &= \int_0^T\Big[\big(\sigma\rho + \sigma_0 B(s, T)\big)^2 + \sigma^2\big(1-\rho^2\big) \Big] ds\\ &=\int_0^T\Big[\sigma^2 + 2\rho\sigma\sigma_0 B(s, T) + \sigma_0^2 B^2(s, T)\Big] ds\\ &=\sigma^2 + \frac{2\rho\sigma\sigma_0}{a}\Big[T-\frac{1}{a}\big(1-e^{-al}\big)\Big] + \frac{\sigma_0^2}{a^2}\Big[T+\frac{1}{2a}\big(1-e^{-2aT} \big) - \frac{2}{una}\big(1-e^{-al} \big) \Big]\\ &=\sigma^2 + \frac{2\rho\sigma\sigma_0}{a}\Big[T-\frac{1}{a}\big(1-e^{-al}\big)\Big] + \frac{\sigma_0^2}{a^2}\Big[T-\frac{1}{2a}e^{-2aT}+\frac{2}{a}e^{-al} -\frac{3}{2a} \Big]. \end{align*}$$ Entonces $$\begin{align*} F(T, T) = F(0, T)\exp\left(-\frac{1}{2}\hat{\sigma}^2T + \hat{\sigma}\sqrt{T} Z \derecho), \end{align*}$$ donde $Z$ es una variable aleatoria normal estándar. En consecuencia, $$\begin{align*} E_Q\left(\frac{(S_T-K)^+}{B_T}\derecho) &= E_Q\left(\frac {F(T, T)-K)^+}{B_T}\derecho)\\ &=E_{Q^T}\left(\frac {F(T, T)-K)^+}{B_T} \frac{dQ}{dQ^T}\bigg|_T \derecho)\\ &=P(0, T)E_{Q^T}\left((F(T, T)-K)^+\derecho)\\ &=P(0, T)\big[F(0, T)N(d_1) KN(d_2) \big], \end{align*}$$ donde $d_1 = \frac{\ln F(0, T)/K + \frac{1}{2}\hat{\sigma}^2 T}{\hat{\sigma} \sqrt{T}}$ y $d_2 = d_1 - \hat{\sigma} \sqrt{T}$.

Answer 2

Gordon explica muy claramente, si se asume que su IR modelo es normal, se han cerrado las fórmulas de forma.

Lo importante aquí es que el Avance, con la madurez T es lognormal debajo de los $T$-adelante la medida.

¿Por qué es eso? ¿Por qué nos preocupamos?

Tan pronto como usted tiene estocásticos de tipos de interés, que básicamente debe olvidarse el riesgo neutral medir y pensar en términos de avance de las medidas de lugar. El cambio de la medida fórmula es: $$V_t = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}^{RN}}_t[e^{-\int_t^T r_u\,du} V_T] = Z_{t,T}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}^T}_t[V_T]$$ donde $$Z_{t,T} = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}^{RN}}_t[e^{-\int_t^T r_u\,du} ]$$ es el ZCB precio, es decir, el valor de recibir 1 unidad de moneda en vez de $T$, como se ve desde el tiempo $t$ (escribo a $\mathbb{E}_t$ para la esperanza condicional respecto de la filtración de representación de la información disponible en tiempo $t$).

El ZCB precio es normalmente conocido/implícita de líquido de las tasas de los instrumentos en vez de $t$. Por lo que la fórmula anterior los factores de la estocasticidad de los tipos de interés. Para los no-dependiente del recorrido de los productos, esto significa que no puede olvidarse de que el riesgo-neutral medir por completo. La única cosa que importa es la distribución de la terminal de flujo de efectivo $V_T$ bajo $T$-adelante de la medida $\mathbb{Q}^T$ asociadas con la numeraire $Z_{t,T}$. La mayoría de la gente sin una de las tasas de fondo se sienten incómodos con esta medida, en primer lugar. ¿Por qué introducir esta ficción medida cuando tenemos el riesgo neutral?

Bueno, en primer lugar, el llamado riesgo-neutral medida es igual de ficticio. Es puramente una construcción matemática cuya existencia se deriva, en algunos supuestos, de la única medida que importa: la histórica medida $\mathbb{P}$.

Por otra parte, esta es la forma en la que los participantes del mercado que realmente piensa! De hecho, en los mercados de opciones, los participantes de la cita de la volatilidad implícita. Si $C_t(T,K)$ es el valor de una llamada con la madurez $T$ y la huelga de $K$ en vez de $t$, el correspondiente BS volatilidad implícita es $$C_t(T,K) = Z_{t,T}BS\left(t,F_{t,T};T,K;\Sigma_{BS}\derecho)$$
donde $$BS(t,F, T,K;\sigma) = FN\left( -\frac{\log(K/F)}{\sigma\sqrt{T t}} + \frac{1}{2}\sigma\sqrt{T t} \derecho) - KN\left(-\frac{\log(K/F)}{\sigma\sqrt{T t}} - \frac{1}{2}\sigma\sqrt{T t} \derecho)$$ Con el fin de ponerse de acuerdo sobre el precio actual, es necesario que los participantes están de acuerdo en el vol y en $Z_{t,T}$. Pero, en la práctica, los participantes en el mercado no necesita llegar a un acuerdo sobre el precio justo. Lo que se requiere es para cada una de las contrapartes para la estimación de que el comercio es beneficioso para ellos. Si usted tiene una mejor estimación de $Z_{t,T}$, entonces usted puede arbitraje de la otra contraparte. Esto es exactamente lo que sucedió después de la crisis de 2008, cuando algunos todavía estaban usando las tasas Libor USD como "libre de riesgo" tasas de descuento cuando los demás estaban descuento en las tasas OIS (la tasa de interés de garantía).

Escrito $F_{t,T} = S_t/Z_{t,T}$, la volatilidad implícita puede ser visto como una función $\Sigma_{BS}(t,S,Z, T,K)$, donde las variables después de la semi-colon son fijos (se refieren a la madurez y la huelga en el contrato de opción), mientras que los de antes de que evolucione estocásticamente con $t$. La dependencia respecto a la huelga es la conocida volatilidad sonrisa. La dependencia wrt al lugar de los $S$ es conocida como la volatilidad de la columna vertebral. La dependencia wrt a $t$ es esencialmente lo que la gente llama Theta (o al menos su volatilidad del componente). La dependencia wrt $Z$ corresponde al IR de riesgo. Este riesgo es insignificante en definitiva de fecha opciones, pero no en el largo fechada queridos.

Answer 3

En el fin de definir el precio de la opción se debe seguir Black Scholes de la construcción para construir libres de riesgo de la cartera en t entonces a estado instantáneo de la tasa de retorno de esta cartera de igualdad de tasa libre de riesgo r ( t ) donde r es un aleatorio en [ t , t + dt ] intervalo. Realmente podemos llegar a el problema que no podía ser incrustado en BS precio mundial.