¿Cómo funciona el tiempo discreto de volatilidad estocástica del modelo de surgir a partir de la continua tiempo de uno?
También, perdóname por el cross-posting.
Tengo el siguiente tiempo continuo SDE para un modelo de volatilidad estocástica. $S_t$ es el precio, y $v_t$ es una variación del proceso. $$ dS_t = \mu S_tdt + \sqrt{v_t}S_t dB_{1} \\ dv_t = (\theta \alpha \log v_t)v_tdt + \sigma v_t dB_{2t} . $$ Estoy más familiarizado con la de tiempo discreto de la versión: $$ y_t = \exp(h_t/2)\epsilon_t \\ h_{t+1} = \mu + \phi(h_t - \mu) + \sigma_t \eta_t \\ h_1 \sim N\left(\mu \frac{\sigma^2}{1-\phi^2}\right). $$ $\{y_t\}$ son el registro de las devoluciones, y $\{h_t\}$ son el "log-volatilites." Tenga en mente que puede haber algo de confusión acerca de los parámetros; por ejemplo, el $\mu$s en cada uno de estos modelos son diferentes.
¿Cómo puedo comprobar que la primera discretiza en el segundo?
Aquí está mi trabajo hasta ahora. Primero defino $Y_t = \log S_t$ y $h_t = \log v_t$. Entonces yo uso Ito lema para obtener \begin{align*} dY_t &= \left(\mu - \frac{\exp h_t}{2}\right)dt + \exp[h_t/2] dB_{1}\\ dh_t &= \left(\theta \alpha\log v_t - \sigma^2/2\derecho)dt + \sigma dB_{2,t}\\ &= \alpha\left(\tilde{\mu} - h_t \derecho)dt + \sigma dB_{2t}. \end{align*}
Tengo el estado/log-vol proceso de la pieza. Yo uso el método de Euler para discretizar, ajuste de $\Delta t = 1$, para obtener \begin{align*} h_{t+1} &= \alpha \tilde{\mu} + h_t(1-\alpha) + \sigma \eta_t \\ &= \tilde{\mu}(1 - \phi) + \phi h_t + \sigma \eta_t \\ &= \tilde{\mu} + \phi(h_t - \tilde{\mu}) + \sigma \eta_t. \end{align*}
La observación de la ecuación es un poco más difícil, sin embargo:
\begin{align*} y_{t+1} = Y_{t+1} - Y_t &= (\mu - \frac{v_t}{2}) + \sqrt{v_t}\epsilon_{t+1} \\ &= \left(\mu - \frac{\exp h_t}{2} \derecho) + \exp[ \log \sqrt{v_t}] \epsilon_{t+1} \\ &= \left(\mu - \frac{\exp h_t}{2}\derecho) + \exp\left[ \frac{h_t}{2}\right] \epsilon_{t+1}. \end{align*}
¿Por qué es la media vuelta no $0$ o $\mu$? ¿Cómo debo de haber definido las transformaciones? Sospecho que podría tener algo que ver con el significado de los parámetros y variables aleatorias. En el tiempo discreto modelo anterior, $y_t$ es la media ajustada de registro de la devolución. En el SDE por encima de eso, $\mu$ probablemente significa que la tasa de interés más de la mitad de la varianza (Preguntas continuamente compuesto de retorno vs largo plazo esperado de retorno).
