Preguntas sobre la rentabilidad compuesta continua frente a la rentabilidad esperada a largo plazo

Question

He leído un artículo de Oliver Grandville sobre el rendimiento esperado a largo plazo. Estoy tratando de conciliar lo que estoy leyendo en ese documento frente a lo que veo en "Aplicación al mercado de valores" en la página del criterio de Kelly en Wikipedia.

http://www.cfapubs.org/doi/abs/10.2469/faj.v54.n6.2227

https://en.wikipedia.org/wiki/Kelly_criterion

En su documento, define lo siguiente:

1. $R_{t-1,t} = \frac{S_t-S_{t-1}}{S_{t-1}}$ como la tasa de rendimiento anual compuesta una vez al año
2. $X_{t-1,t} = 1 + R_{t-1,t} = \frac{S_t}{S_{t-1}}$ como el rendimiento anual en dólares
3. $log \left( X_{t-1,t} \right) = log \left(\frac{S_t}{S_{t-1}}\right)$ como la tasa de rendimiento anual compuesta de forma continua
4. $E(X_{t-1,t}) = E(1+R_{t-1,t})$ como el valor esperado de la rentabilidad anual en dólares y $V(X_{t-1,t})$ como su varianza

Deriva que dado $log \left( X_{t-1,t} \right) = log \left(\frac{S_t}{S_{t-1}}\right) = \mu + \sigma N(0,1)$ (es decir, los rendimientos logarítmicos siguen una distribución normal de media $\mu$ y la varianza $\sigma^2)$ Debemos tener que $E(X_{t-1,t}) = exp \left( \mu + \frac{\sigma^2}{2}\right) $ .

Mis preguntas son:

1. Para el artículo de la wiki frente a este artículo, el de la wiki dice que el rendimiento esperado del registro es $R_s = \left( \mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)t$ . Esto parece similar al artículo de Grandville en que si se toma $log(E(X_{t-1,t})) = \mu + \frac{\sigma^2}{2}$ pero no es exactamente lo mismo. ¿Es porque la suposición que hace el artículo de la wiki es diferente (es decir, el precio de las acciones se mueve como un movimiento browniano?)
2. En la derivación del máximo del valor esperado en la página wiki. ¿No debería ser $G(f) = fE(stock) + (1-f)E(bond)=f*(\mu - \frac{\sigma^2}{2}) + (1-f)*r$ pero el término vol es diferente ( $f^2$ vs $f$ ). ¿Por qué?
3. Finalmente, la última línea del artículo de la wiki menciona que "Recuerda que $ \mu $ es diferente de la rentabilidad logarítmica del activo $R_s$ . Confundir esto es un error común que cometen los sitios web y los artículos que hablan del Criterio Kelly". Mi opinión es que $\mu$ es el esperado de los rendimientos logarítmicos $E(log(X_{t-1,t}))$ mientras que $R_s$ es el logaritmo de los rendimientos esperados $log(E(X_{t-1,t}))$ y que esta distinción es importante porque $E(log(X))$ y $log(E(X))$ no son siempre iguales. ¿Esta interpretación es correcta?

Answer 1

Hay dos comunidades que parametrizan las variables aleatorias de los rendimientos y los niveles de forma diferente. Y, por desgracia, ambas utilizan la misma notación. Una comunidad utiliza $\mu$ para denotar la media del logaritmo del nivel. Los otros usos $\tilde{\mu}$ para denotar el logaritmo de la media del nivel.

Sí, el orden en que se aplican las transformaciones a las variables aleatorias y se toma su expectativa es muy importante. Sólo en el caso de las transformaciones afines/lineales el orden no importa. En tu caso, el logaritmo es una función no lineal, por lo que intercambiar el orden importa mucho.

En la comunidad estadística, donde es más común tratar con variables aleatorias simples y no con procesos estocásticos de tiempo continuo, probablemente diríamos $X$ sigue una distribución Lognormal con parámetros $\mu$ y $\sigma^2$ . Esto está escrito $X \sim \text{Lognormal}(\mu, \sigma^2)$ . Sin embargo, estos parámetros no denotan la media y la varianza de la variable aleatoria $X$ . En su lugar, los denotan la media y la varianza de $R = \log X$ que es un rendimiento de un solo período distribuido normalmente. Para nosotros el nivel esperado es $E[X] = \exp[ \mu + \sigma^2/2].$

Cuando se habla de los SDE, con los que estoy menos familiarizado, se menciona que el nivel esperado después de un período es $e^{\tilde{\mu}}$ . Aquí se utiliza el parámetro para denotar el logaritmo de la media del nivel. La relación entre las dos parametrizaciones es la siguiente: $$ \left[ \begin{array}{c} \tilde{\mu} \\ \tilde{\sigma}^2 \end{array}\right] = \left[ \begin{array}{c} \mu + \frac{\sigma^2}{2} \\ \sigma^2 \end{array}\right], $$ donde el lado izquierdo es el conjunto de parámetros utilizados por la comunidad SDE.

Haz las sustituciones y podrás ver que ambas comunidades dicen lo mismo sobre las devoluciones: $$ E[R] = E[\log X] = \mu = \tilde{\mu} - \frac{\tilde{\sigma}^2}{2}. $$

Si vuelves a hacer las sustituciones, puedes ver que también dicen lo mismo sobre los niveles: $$ E[X] = \exp(\mu + \sigma^2/2) = \exp(\tilde{\mu}). $$

Answer 2

Esto se refiere sólo a la segunda pregunta.

En la teoría de las SDE el parámetro $\tilde{\mu}$ se denomina a veces tasa de rendimiento instantánea, es decir, la tasa de rendimiento en un intervalo de tiempo tan pequeño que la aleatoriedad puede despreciarse (es decir, en el límite $\Delta t\to 0$ ) . Sin embargo, en un intervalo de tiempo finito esta tasa de rendimiento no se aplica, la aleatoriedad del proceso hace que la tasa esperada sea menor que ésta, y en una unidad de tiempo (tomada como un año para ilustrar) la tasa de rendimiento es $\tilde{\mu}- \frac{1}{2}\sigma^2$

Ahora, volviendo al artículo de la Wikipedia. ¿Cuál es la rentabilidad anual esperada para una inversión que combina Acciones en la proporción $f$ y Tbills en la proporción $(1-f)$ ?

La acción tiene una tasa de rendimiento instantánea $\tilde{\mu}$ y la varianza $\sigma^2$

El Tbill tiene una tasa de rendimiento $r$ y la varianza 0.

La combinación de ambos tiene una tasa de rendimiento instantánea $f \tilde{\mu} + (1-f) r$ y tiene una varianza $f^2 \sigma^2$ .

Aplicando la fórmula anterior encontramos que la tasa de rendimiento anual (o por unidad de tiempo) de la inversión combinada es $f\tilde{\mu} + (1-f) r-\frac{1}{2}f^2 \sigma^2$ . Que es la expresión dada en el artículo de Wikipedia.

El misterioso término de corrección "menos la mitad de la varianza" que hace su aparición se llama "corrección de Ito" y realmente requiere un conocimiento del cálculo estocástico para explicarlo.