Cómo entender la no llamada o poner la propagación de arbitraje condición

Question

El libro Advanced Equity Derivatives Volatility and Correlation page 22 dijo

Para impedir el arbitraje al menos debemos exigir:

1. No call o put spread de arbitraje : $\dfrac{\partial c}{\partial K}\leq 0,\ \dfrac{\partial p}{\partial K}\geq 0.$

2. No propagación de la mariposa de arbitraje : $\dfrac{\partial^2 c}{\partial K^2}\geq 0,\ \dfrac{\partial^2 p}{\partial K^2}\leq 0.$

3. Ningún calendario propagación de arbitraje : $\dfrac{\partial c}{\partial T}\geq 0,\ \dfrac{\partial p}{\partial T}\geq 0.$

Sé que $\dfrac{\partial c}{\partial K},\dfrac{\partial^2 c}{\partial K^2},\dfrac{\partial c}{\partial T}$ son la limitación de sus correspondientes estrategias de opción, pero ¿por qué $\leq 0$ y $\geq 0$ puede representar las suficientes condiciones de no arbitraje?

Answer 1

Vamos a centrarnos en una opción call Europea para el bien del argumento. Asumir determinista de las tasas de mantener anotaciones ordenadas. Definir $\Bbb{Q}$ como la probabilidad de medida asociada al mercado de dinero numéraire $B_t$. $$ C(K,T) = \frac{1}{B_T} \Bbb{E}^\Bbb{Q} \left[ (S_T-K)^+ \derecho] = \frac{1}{B_T} \int_K^\infty (S - K) q(S) dS $$ De dónde (regla de Leibniz) $$ \frac{\partial C}{\partial K}(K,T) = - \frac{1}{B_T} \int_K^\infty q(S) dS = -\frac{1}{B_T}\Bbb{Q}(S_T \geq K)$$ desde $B_T$ es un numéraire (negociado de activos con valor positivo en todo momento) y puesto que, por definición de probabilidad $$\Bbb{Q}(\omega) \geq 0 , \forall \omega \en \Omega$$ el resultado no estática arbitraje condición es, de hecho, $ \frac{\partial C}{\partial K}(K,T) \leq 0 $

Del mismo modo, $$ \frac{\partial^2 C}{\partial K^2}(K,T) = \frac{1}{B_T}p(K) $$ donde el mismo argumento se aplica para el signo de $B_T$ y otra vez por la definición de una p.d.f. $$ q(\cdot) \geq 0 $$ así que nos tenemos $ \frac{\partial^2 C}{\partial K^2}(K,T) \geq 0 $

Como se puede ver el débil desigualdades directamente provienen de la positividad en el c.d.f. y p.d.f.

Tan lejos como el calendario de arbitraje se refiere, la relación que escribió tiene para los Americanos opciones y es una consecuencia directa de la definición $$ C^{AM}(K,T) = \sup_{\tau \[0,T]} \Bbb{E}^\Bbb{Q} \left[ \frac{1}{B_\tau}(S_{\tau} - K)^+ \derecho] $$ donde $\tau$ es un tiempo de paro y, obviamente, $$ \sup_{\tau \[0,T_2]} \Bbb{E}^\Bbb{Q} \left[ \frac{1}{B_\tau}(S_{\tau} - K)^+ \derecho] \geq \sup_{\tau \[0,T_1]} \Bbb{E}^\Bbb{Q} \left[ \frac{1}{B_\tau}(S_{\tau} - K)^+ \derecho] $$ para cualquier $T_2 \geq T_1$.

Tiene una desigualdad por la ausencia de calendario de arbitraje para el Europeo de opciones, consulte esta cuestión para más info.