Dando por sentado que el logaritmo de la rentabilidad se define como el logaritmo del precio de hoy dividido por el precio de ayer.
¿Saber esta sola pieza de información (la rentabilidad promedio del logaritmo de una acción durante un largo periodo de tiempo), indica algo sobre la acción? ¿Es este un indicador comúnmente utilizado?
Los logaritmos de los rendimientos son muy comúnmente utilizados en matemáticas financieras, especialmente en finanzas cuantitativas. La propiedad importante es que son simétricos alrededor de 0 con respecto a la adición.
Esta propiedad hace posible hablar sobre un rendimiento promedio.
Por ejemplo, si una acción baja un 20% en un período de tiempo, tiene que aumentar un 25% para volver al punto de partida. Sin embargo, para el logaritmo de los rendimientos los números son -0.223 al bajar en un período de tiempo, y 0.223 al subir para volver al punto de partida.
En este sentido, simplemente puedes tomar un promedio aritmético y tiene sentido. Puedes sumar o restar valores en la escala de logaritmos de los rendimientos libremente, como tasas de interés logarítmicas o tasas de inflación logarítmicas. Mientras que la media aritmética de los rendimientos (sin logaritmos) simplemente carece de sentido: una acción con rendimientos -3% y +3% tendría un promedio del 0%, cuando de hecho ¡la acción ha disminuido de precio?
El enfoque correcto en los rendimientos de precios directos sería tomar una media diferente (por ejemplo, geométrica) para obtener un promedio decente. Y sin embargo será difícil incorporar otra información, como restar la tasa libre de riesgo o la tasa de inflación para obtener rendimientos promedio ajustados por tasa.
En resumen: Los logaritmos de los rendimientos son más fáciles de manejar computacionalmente, especialmente a granel, pero los rendimientos sin logaritmos son más fáciles de comprender/imaginar como un número propio.
Probablemente la mejor manera de investigar esto es mirar un ejemplo. Primero, como han dicho los comentaristas anteriores, el logaritmo de retorno de un período es el logaritmo del precio en el tiempo t/precio en el tiempo t-1) que es aproximadamente igual al cambio porcentual en el precio desde el tiempo t-1 al tiempo t, siempre y cuando este cambio porcentual no sea grande en comparación con el tamaño del precio. (Nota: debes usar el logaritmo natural, es decir, logaritmo en base e -- botón ln en una calculadora -- aquí.)
El principal uso del logaritmo de retorno es que es un proxy para el cambio porcentual en el precio, lo que resulta ser matemáticamente conveniente, por varias razones que en su mayoría ya han sido mencionadas en los comentarios.
Pero ya sabes esto; tu pregunta real es sobre el logaritmo de retorno promedio en un período de tiempo. ¿Qué indica esto sobre la acción?
La respuesta es: si el precio de la acción no está cambiando mucho, entonces el logaritmo de retorno promedio es aproximadamente igual al cambio porcentual promedio en el precio, y es muy fácil y rápido de calcular. Pero si el precio de la acción es muy volátil, entonces el logaritmo de retorno promedio puede ser considerablemente diferente al cambio porcentual promedio en el precio.
Aquí hay un ejemplo: los precios de cierre para Pitchfork Oil de la negociación de la semana pasada son: 10, 5, 12, 5, 10, 2, 15. Los cambios porcentuales son: -0.5, 1.4, -0.58, 1, -0.8, 6.5 (donde -0.5 significa -50%, etc.) El cambio porcentual promedio es 1.17, o 117%. Por otro lado, los logaritmos de retorno para el mismo período son -0.69, 0.88, -0.88, 0.69, -1.6, 2, y el logaritmo de retorno promedio es aproximadamente 0.068. Si usáramos esto como un proxy para el cambio porcentual promedio en el precio durante los siete días completos, obtendríamos 6.8% en lugar de 117%, lo cual es incorrecto. La razón por la que es incorrecto es porque el precio fluctuó mucho.
Por otro lado, los precios de cierre para United Marshmallow en el mismo período son 10, 11, 12, 11, 12, 13, 15. El cambio porcentual promedio de un día a otro es 0.073, y el logaritmo de retorno promedio es 0.068, por lo que en este caso el logaritmo de retorno es muy cercano al cambio porcentual. Y tiene la ventaja de ser calculable solo con los primeros y últimos precios, ya que las propiedades de los logaritmos implican que se simplifica a (log(15)-log(10))/6. Nota que esto es exactamente lo mismo que para Pitchfork Oil.
Entonces, una razón por la cual podrías interesarte en el logaritmo de retorno promedio es que te brinda una manera muy rápida de estimar el rendimiento promedio, si el precio de la acción no está cambiando mucho.
Otra razón, más sutil, es que en realidad se comporta mejor que la devolución porcentual. Cuando el precio de Pitchfork salta de 5 a 12 y luego cae de nuevo a 5, los cambios porcentuales son +140% y -58%, para un promedio de +82%. Eso suena bien, pero si lo hubieras comprado a 5 y luego lo hubieras vendido a 5, en realidad no habrías ganado nada con tu dinero. Los logaritmos de retorno para el mismo período no tienen esta propiedad perturbadora, porque suman un total de 0%.
¿Cuál es la diferencia real en este ejemplo? Bueno, si hubieras comprado $1 de Pitchfork el martes, cuando estaba a 5, y lo hubieras vendido el miércoles, cuando estaba a 12, habrías obtenido una ganancia de $1.40. Si luego hubieras comprado otros $1 el miércoles y los hubieras vendido el jueves, habrías tenido una pérdida de $0.58. En total, tu ganancia habría sido de $0.82. Esto es lo que el cambio porcentual promedio está calculando.
Por otro lado, si hubieras sido un inversor a largo plazo que hubiera comprado el martes y se hubiera quedado hasta el jueves, entonces citar un "rendimiento promedio" del 82% sería muy engañoso, ¡porque de ninguna manera corresponde al rendimiento real del 0% que realmente obtuviste!
La moraleja es que puede ser mejor mirar los logaritmos de retorno si eres un inversor del tipo comprar y mantener, porque los logaritmos de retorno se cancelan cuando los precios fluctúan, mientras que los cambios porcentuales en el precio no lo hacen. Pero el lado negativo de esto es que tu logaritmo de retorno promedio durante un período de tiempo no te brinda mucha información sobre lo que han estado haciendo los precios, ya que es solo (logaritmo del precio final) - (logaritmo del precio inicial)/número de períodos. Dado que es tan fácil de calcular a partir de los precios iniciales y finales, comúnmente no lo verás en las páginas financieras, hasta donde yo sé.
Finalmente, para responder a tu pregunta: "¿Saber esta sola pieza de información indica algo sobre la acción?", yo diría: no realmente. Desde el punto de vista de este indicador, Pitchfork Oil y United Marshmallow parecen ser inversiones idénticas, cuando claramente no lo son. Saber el logaritmo de retorno promedio es exactamente lo mismo que conocer la relación entre los precios finales e iniciales.
Saber el rendimiento logarítmico es útil: el rendimiento logarítmico puede ayudarte a calcular el rendimiento anual durante el período en que se estimó, y esto debería ser comparable entre acciones.
Simplemente hay que tener cuidado con el cálculo para asegurarse de que se haga de manera sensata con respecto a los dividendos.
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