Dado que el logaritmo del rendimiento es definido por el logaritmo del precio de hoy dividido por el precio de ayer.
¿Saber esta única pieza de información (el logaritmo promedio del rendimiento de una acción en un largo periodo de tiempo), indica algo sobre la acción? ¿Es este un indicador comúnmente utilizado?
Los logaritmos de rendimiento son muy comúnmente utilizados en matemáticas financieras, especialmente en finanzas cuantitativas. La propiedad importante es que son simétricos alrededor de 0 con respecto a la adición.
Esta propiedad hace posible hablar sobre un rendimiento promedio.
Por ejemplo, si una acción desciende un 20% en un período de tiempo, tiene que aumentar un 25% para volver al punto de partida. En cambio, para el logaritmo de rendimiento, los números son 0.223 hacia abajo en un período de tiempo, y 0.223 hacia arriba para volver al punto de partida.
En este sentido, simplemente puedes tomar un promedio aritmético y tiene sentido. Puedes sumar o restar libremente valores en la escala de logaritmos de rendimiento, como tasas de interés en logaritmos o tasas de inflación en logaritmos. Mientras que la media aritmética de los rendimientos (no en logaritmos) simplemente no tiene sentido: ¡Una acción con rendimientos -3% y +3% tendría un promedio de 0%, cuando de hecho la acción ha disminuido de precio?
El enfoque correcto en los rendimientos de precio directo sería tomar una media diferente (por ejemplo, geométrica) para obtener un promedio decente. Y sin embargo, será difícil incorporar otra información, como restar la tasa libre de riesgo o la tasa de inflación para obtener rendimientos promedio ajustados por tasas.
En resumen: Los logaritmos de rendimiento son más fáciles de manejar computacionalmente, especialmente en grandes cantidades, pero los rendimientos no en logaritmos son más fáciles de comprender/imaginar como un número en sí mismos.
Probablemente la mejor manera de investigar esto es ver un ejemplo. Primero, como los comentaristas arriba ya han dicho, el logaritmo natural de un periodo es logaritmo (precio en el tiempo t/precio en el tiempo t-1) que es aproximadamente igual al cambio porcentual en el precio desde el tiempo t-1 hasta el tiempo t, siempre y cuando este cambio porcentual no sea grande en comparación con el tamaño del precio. (¡Nota que debes usar el logaritmo natural, es decir, logaritmo en base e -- botón ln en una calculadora -- aquí!)
El uso principal del logaritmo de un periodo es que es un proxy para el cambio porcentual en el precio, lo cual resulta ser matemáticamente conveniente, por varias razones que en su mayoría ya han sido mencionadas en los comentarios.
Pero ya sabes esto; tu pregunta real es sobre el logaritmo promedio de un periodo de tiempo. ¿Qué indica esto acerca de la acción?
La respuesta es: si el precio de la acción no está cambiando mucho, entonces el logaritmo promedio es aproximadamente igual al cambio porcentual promedio en el precio, y es muy fácil y rápido de calcular. Pero si el precio de la acción es muy volátil, entonces el logaritmo promedio puede ser muy diferente al cambio porcentual promedio en el precio.
He aquí un ejemplo: los precios de cierre de Pitchfork Oil de la semana pasada fueron: 10, 5, 12, 5, 10, 2, 15. Los cambios porcentuales son: -0.5, 1.4, -0.58, 1, -0.8, 6.5 (donde -0.5 significa -50%, etc.) El cambio porcentual promedio es 1.17, o 117%. Por otro lado, los logaritmos de retorno para el mismo periodo son -0.69, 0.88, -0.88, 0.69, -1.6, 2, y el logaritmo promedio es aproximadamente 0.068. Si utilizamos esto como un proxy para el cambio porcentual promedio en el precio durante los siete días, obtendríamos 6.8% en lugar de 117%, lo cual está terriblemente equivocado. La razón por la que está mal es porque el precio fluctuó mucho.
Por otro lado, los precios de cierre de United Marshmallow en el mismo periodo fueron 10, 11, 12, 11, 12, 13, 15. El cambio porcentual promedio de un día al siguiente es 0.073, y el logaritmo promedio es 0.068, por lo que en este caso el logaritmo de retorno está muy cerca del cambio porcentual. Y tiene la ventaja de ser calculable solo a partir de los primeros y últimos precios, porque las propiedades de los logaritmos implica que se simplifica a (log(15)-log(10))/6. Nota que esto es exactamente lo mismo que para Pitchfork Oil.
Entonces, una razón por la que podrías estar interesado en el logaritmo promedio de retorno es que brinda una forma muy rápida de estimar el retorno promedio, si el precio de la acción no está cambiando mucho.
Otra razón, más sutil, es que en realidad se comporta mejor que el retorno porcentual. Cuando el precio de Pitchfork salta de 5 a 12 y luego se desploma de vuelta a 5, los cambios porcentuales son +140% y -58%, para un promedio de +82%. Eso suena bien, pero si lo hubieras comprado a 5 y luego lo hubieras vendido a 5, realmente no habrías ganado nada en tu dinero. Los logaritmos de retorno para el mismo periodo no tienen esta propiedad perturbadora, porque suman 0% en realidad.
¿Cuál es la diferencia real en este ejemplo? Bueno, si hubieras comprado $1 de Pitchfork el martes, cuando estaba a 5, y lo hubieras vendido el miércoles, que estaba a 12, habrías obtenido un beneficio de $1.40. Si luego hubieras comprado otro $1 el miércoles y lo hubieras vendido el jueves, habrías sufrido una pérdida de $0.58. En total, tu beneficio habría sido de $0.82. Eso es lo que está calculando el retorno porcentual promedio.
Por otro lado, si hubieras sido un inversor a largo plazo que hubiera comprado el martes y se hubiera mantenido hasta el jueves, entonces citar un "retorno promedio" del 82% es muy engañoso, ¡porque de ninguna manera se corresponde con la rentabilidad del 0% que realmente obtenías!
La moraleja es que puede ser mejor mirar los logaritmos de retorno si eres un tipo de inversor buy-and-hold, porque los logaritmos de retorno se cancelan cuando los precios fluctúan, mientras que los cambios porcentuales en el precio no. Pero el lado negativo de esto es que tu logaritmo de retorno promedio en un periodo de tiempo no te da mucha información sobre lo que han estado haciendo los precios, ya que es simplemente (logaritmo(precio final) - logaritmo(precio inicial))/número de periodos. Dado que es tan fácil de calcular a partir de los precios iniciales y finales mismos, comúnmente no lo verás en las páginas financieras, que yo sepa.
Finalmente, para responder a tu pregunta: "¿Saber esta única pieza de información indica algo sobre la acción?", yo diría: no realmente. Desde el punto de vista de este indicador único, Pitchfork Oil y United Marshmallow parecen ser inversiones idénticas, cuando claramente no lo son. Saber el logaritmo de retorno promedio es exactamente lo mismo que saber la razón entre los precios finales e iniciales.
Saber el rendimiento logarítmico es útil: el rendimiento logarítmico puede ayudarte a calcular el rendimiento anual durante el período en el que se estimó, y esto debería ser comparable entre acciones.
Uno solo debe tener cuidado con el cálculo para que se haga de manera sensata la deducción de los dividendos.
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