Calendario de Arbitraje en un Vol de la Superficie

Question

Estoy tratando de determinar la condición de que mi implícita vol superficie no tiene calendario de arbitraje. He hecho la investigación y encontró que una de tales condiciones es que la varianza total debe aumentar a lo largo del eje de tiempo. Sin embargo, quiero encontrar a una condición diferente uso de la opción call de precio o hacia adelante, o algo de esa medida.

Además, no quiero asumir proporcional de los dividendos, lo mismo hacia adelante moneyness, etc. La información que yo sé es el precio de la opción y de avance de los precios.

Mi enfoque es algo como lo siguiente. Permita que X y y sean incógnitas. en t=0, tendría que pagar (o recibir) $XC(t_1)+YC(t_2)$ donde $C(T)=\exp(-rT)BS(F_T,K,T,r,\sigma)$. Tenga en cuenta que estoy suponiendo que estamos trabajando con la misma huelga $K$. Deje que $X=1$ para simplicty. En $t=1$, si $S_{t_1}<K$, entonces mi llamado expiran en $t_1$ valdría nada, y el cierre de la cartera, la rentabilidad sería de $-Y\exp(rT_1)C(t_2)$. Si $S_{t_1}>K$, entonces mi pago sería de $S_{t_1}-K-Y\exp(rT_1)C(t_2)$.

No estoy seguro de cómo iba a continuar mi argumento desde aquí, aunque tal vez quiero usar el hecho de que $C(t) \ge \exp(-rt)(F_t-K)$. Sé que primero tendría que averiguar la cantidad de $Y$ en primer lugar.

Cualquier ayuda sería muy apreciada. Jim

Answer 1

En un puro difusión de configuración, puede escribir equivalentemente ningún calendario de arbitraje restricciones:

• En términos de la volatilidad implícita: total implícita la varianza debe ser no decreciente en el tiempo, y que, para cualquier adelante moneyness nivel, ver Gatheral parte superior de la página 4.

• En términos de la opción Europea de precios: ver Gatheral final de la página 3.

El precio basado en la restricción se basa en el siguiente lema

[Lema] Si $X_t$ es una martingala, $L < \infty$ una constante real y $0 < t_1 < t_2$ dos veces, luego $$E[(X_{t_2}-L)^+] \geq E [(X_{t_1}-L)^+] $$

[Prueba] \begin{align} E[(X_{t_2}-L)^+ \vert \mathcal {F}_0 ] &= E[\ E [(X_{t_2}-L)^+ \ \vert \mathcal {F}_1 \ ]\ \vert \mathcal {F}_0 ] \\ &\geq E[\ \izquierdo( E[X_{t_2}-L \ \vert \mathcal {F}_1 \ ] \derecho)^+ \ \vert \mathcal {F}_0 ] \\ &\geq E[ (X_{t_1}-L)^+ \ \vert \mathcal {F}_0 ] \end{align} donde hemos utilizado, en su respectivo orden:

• Torre de propiedades de la esperanza condicional
• La desigualdad de Jensen ($f : x \rightarrow x^+$ es una función convexa)
• El hecho de que $X_t$ es una martingala

En un contexto más general de la configuración, se puede utilizar este lema a derivar precio basado en restricciones. La única pregunta es: ¿qué martingala $X_t$ deberíamos considerar?

[Proporcional de los dividendos]

En una difusión pura, es razonable utilizar $X_t = S_t/F (0,t) $ porque $dS_t/S_t = \mu_t dt + \sigma_t dW_t \Rightarrow S_t = F(0,t)X_t$, donde $X_t=\mathcal{E}(\int_0^t \sigma_s dW_s)$ es de hecho una martingala (Doléans-Dade exponencial). Aplicando el lema, a continuación, da:

\begin{align*} & E[(X_{t_2}-L)^+] \geq E [(X_{t_1}-L)^+] \\ \ffi & E\left[\left(\frac{S_{t_2}}{F(0,t_2)}-L\derecho)^+\derecho] \geq E \left[\left(\frac{S_{t_1}}{F(0,t_1)}-L\derecho)^+\derecho] \\ \ffi & \frac{1}{F(0,t_2)} E[(S_{t_2}-LF(0,t_2))^+] \geq \frac{1}{F(0,t_1)} E[(S_{t_1}-LF(0,t_1))^+] \\ \ffi & \frac{\tilde{C}(K_2,t_2)}{F(0,t_2)} \geq \frac{\tilde{C}(K_1,t_1)}{F(0,t_1)} \end{align*} donde $\tilde{C}(K,T)$ denota un sin descuento precio y $K_1=LF(0,t_1)$, $K_2=LF(0,t_2)$. Este es, precisamente, Gatheral del resultado: $$ \frac{C_2}{K_2} \geq \frac{C_1}{K_1} $$ (en su papel, él siempre usa no descontados llamada de precios y él eligió $L=e^k$), ya que $$ \frac{K_2}{K_1} = \frac{F(0,t_2)}{F(0,t_1)} $$

[Efectivo y Proporcional de los dividendos]

En una más elaborada valor, dependerá de cómo el modelo de dividendos. Buehler por ejemplo, sugiere un no-arbitraje de precios marco que puede acomodar a un pago de dividendos en efectivo, proporcional de los dividendos, y/o cualquier mezcla de los dos. En su modelo, tiene sentido usar la martingala $X_t = (S_t-D_t)/(F (0,t) - D_t) $ donde $D_t $ está relacionado con el futuro de dividendos flujo (todos los divs se supone que se conoce de antemano). Aplicando el lema de:

\begin{align*} & E[(X_{t_2}-L)^+] \geq E [(X_{t_1}-L)^+] \\ \ffi & E\left[\left(\frac{S_{t_2}-D_{t_2}}{F(0,t_2)-D_{t_2}}-L\derecho)^+\derecho] \geq E \left[\left(\frac{S_{t_1}-D_{t_1}}{F(0,t_1)-D_{t_1}}-L\derecho)^+\derecho] \\ \ffi & \frac{E[(S_{t_2}-(D_{t_2}+L(F(0,t_2)-D_{t_2})))^+] }{F(0,t_2)-D_{t_2}} \geq \frac{E[(S_{t_1}-(D_{t_1}+L(F(0,t_1)-D_{t_1})))^+]}{F(0,t_1)-D_{t_1}} \\ \ffi & \frac{\tilde{C}(K_2,t_2)}{F(0,t_2)-D_{t_2}} \geq \frac{\tilde{C}(K_1,t_1)}{F(0,t_1)-D_{t_1}} \end{align*} donde $\tilde{C}(K,T)$ denota un sin descuento precio y $K_1=D_{t_1}+L(F(0,t_1)-D_{t_1}))$, $K_2=D_{t_2}+L(F(0,t_2)-D_{t_2}))$.

Observe que cuando se $(D_t)_{t\geq0} = 0$, caemos en Gatheral del resultado. En Buehler, $(D_t)_{t\geq0} = 0$ iff hay ningún pago de dividendos en efectivo (es decir, no podía ser proporcional dividendos o no los dividendos en todos). Esto es totalmente coherente con lo que hemos dicho en la difusión pura caso.

[Arbitraje oportunidad]

Por último, tenga en cuenta que las anteriores desigualdades describir el calendario de oportunidades de arbitraje. En la segunda situación, por ejemplo, un PF donde es largo $\tilde{C}(K=K_2,T=t_2)$ y corto $(F(0,t_2)-D_{t_2})/(F(0,t_1)-D_{t_1}) $ unidades de $\tilde{C}(K=K_1,T=t_1)$ siempre debe tener un valor positivo (sólo nos mostró que). Si no, es una oportunidad de arbitraje.