Distribución del precio de la opción Black-Scholes

Question

Considere una fórmula de Black-Scholes para la fijación de precios de opciones sobre el tipo de interés condicional $r=0$ para la opción de compra europea. Escribámosla como $BSCall(\sigma)$ e investigarlo en función de una volatilidad constante no aleatoria desconocida.

Podemos observar los datos históricos de los precios de los activos y calcular la varianza de la muestra $s$ cuya ley de distribución depende de una verdad desconocida $\sigma$ . Tiene una importante propiedad de $\dfrac{(n-1)\text{s}^2}{\sigma} \sim \chi_{n-1} ^2$ .

Debido a la propiedad del complemento MLE sabemos que si $\hat{\sigma}$ es un MLE para la volatilidad $\sigma$ entonces $BSCall(\hat{\sigma})$ es un MLE para el precio Black-Scholes.

Pero esto es sólo un estimador puntual. ¿Existe algún enfoque para calcular la varianza o el intervalo de confianza (IDH) para el precio de la opción bajo la volatilidad estimada con la varianza de la muestra?

Intenté utilizar un truco de valor esperado de black-scholes pero parece ser incorrecto ya que la reescritura $\sigma = \dfrac{(n-1)\text{s}^2}{\chi_{n-1} ^2}$ aporta cierta incertidumbre exógena mediante el muestreo de Chi-cuadrado.

Answer 1

Creo que la forma más fácil de conseguir lo que quieres es utilizar intervalos de confianza (inferencia estadística).

En otras palabras, asumiendo que la población tiene una varianza real $\sigma$ la distribución muestral de la varianza $s^2$ de un $n$ -muestra verifica : $$ \frac{s^2(n-1)}{\sigma^2}\sim \chi^2_{n-1}$$

Se puede aprovechar este resultado para construir un $1-\alpha$ intervalo de confianza para la varianza de la población ( $\alpha \in [0,1]$ , por lo general $\alpha=5\%$ ).

En efecto, para un nivel de confianza $1-\alpha$ se cumple la siguiente igualdad: $$ z_{\alpha/2} \leq \frac{s^2(n-1)}{\sigma^2} \leq z_{1-\alpha/2} $$

donde $z_q$ cifras el cuantil $q$ de una distribución chi-cuadrado con $n-1$ grados de libertad, es decir $$ X \sim \chi^2_{n-1},\quad \Bbb{P}(X \leq z_q) = q $$

Dada una varianza muestral $\tilde{s}^2$ Por tanto, se puede dar la vuelta a la desigualdad para escribir, para un nivel de confiedencia $1-\alpha$ : $$ \frac{\tilde{s}^2(n-1)}{z_{1-\alpha/2}} \leq \sigma \leq \frac{ \tilde{s}^2(n-1)}{z_{\alpha/2}} $$ De ahí que los límites superior e inferior de su $1-\alpha$ intervalo de confianza para la varianza de la población (no observada): \begin{align} \sigma^+ = \frac{ \tilde{s}^2(n-1)}{z_{\alpha/2}},\quad \sigma^- = \frac{\tilde{s}^2(n-1)}{z_{1-\alpha/2}} \end{align}

Esto podría ayudarle a construir $1-\alpha$ límites de confianza sobre el precio de la opción BS dada la medida de la varianza de la muestra $\tilde{s}^2$ : $$ V^+ = \text{BSCall}(\sigma^+),\quad V^- = \text{BSCall}(\sigma^+)$$

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[Editar]

Dado su deseo de obtener una distribución completa, ¿por qué no optar por un enfoque bayesiano?

Supongamos que la verdadera varianza de la población $\sigma^2$ sigue una determinada distribución a priori con el hiperparámetro $\alpha$ , $p(\sigma;\alpha)$ en $\Bbb{R}^+$ .

Supongamos que, para una muestra concreta, se mide una varianza muestral $s^2$ y desea calcular la posterior de la varianza de la población. La regla de Bayes da: $$ p(\sigma^2 \vert s^2, \alpha) = \frac{p(s^2 \vert \sigma^2)}{\int_0^\infty p(s^2 \vert \sigma^2) p(\sigma^2;\alpha) d\sigma^2 } p(\sigma^2; \alpha) $$

Ahora ya lo sabes:

• La distribución previa $p(\sigma^2; \alpha)$ : lo has postulado.
• La distribución del muestreo $p(s^2 \vert \sigma^2)$ : $\quad s^2 \sim \sigma^2/(n-1) \chi^2_{n-1}$

Por lo tanto, tienes todo lo que necesitas para calcular la distribución posterior.

Obviamente, si te quedas con el estimador Maxium A Posteriori (MAP), una vez más tendrás una estimación puntual, por lo que te sugiero que realices la integración completa. Por lo que sé, las distribuciones de chi-cuadrado no permiten la conjugación de las priores, por lo que es posible que tengas que recurrir a la integración numérica (por ejemplo, cuadratura adaptativa y similares).

Por último, la elección del hiperparámetro $\alpha$ tendrá un impacto en la posterioridad resultante: es posible que desee establecer $\alpha$ para que la distribución a priori esté centrada en la varianza de la muestra, por ejemplo?

Answer 2

Tienes problemas más importantes de los que preocuparte que de las matemáticas complicadas de los intervalos de confianza. A saber, la varianza de la muestra es una estimación de pasado variabilidad en el subyacente. La volatilidad en los modelos de valoración de opciones es futuro la volatilidad.

Es bien sabido que hay razones estructurales por las que la variabilidad del pasado está sesgada más pequeño que la variabilidad futura según el modelo Black-Scholes. De hecho, lo observamos en los mercados financieros. Veamos una explicación simplificada.

Consideremos un modelo más plausible desde el punto de vista financiero que el de Black-Scholes: uno en el que las acciones pueden quebrar repentinamente debido a un fraude, y la volatilidad varía con el tiempo. Ninguno de los dos modelos es perfecto, pero el nuevo (llámese SVJ) estará "menos equivocado".

Matemáticamente, ya no tenemos la SDE de Black-Scholes basada en un único generador estocástico $W$

$$ \frac{dS}{S} = \mu dt + \sigma dW $$

sino una SDE con 3 generadores: $W,Z$ y un proceso de salto $J$

$$ \frac{dS}{S} = \mu dt + \sigma dW - dJ \\ d\sigma^2= \kappa(\bar{\sigma}^2-\sigma^2) dt + \eta \sigma^2 dZ $$

Si tuviéramos que retirar la volatilidad de Black-Scholes $\sigma_{BS}$ a partir de los precios de las opciones generados a partir del mundo SVJ,

• habría desviación, y
• encontraríamos $\sigma_{BS} > \sigma$ .

Incluso si $\eta=0$ Al no haber observado ningún incumplimiento, todas nuestras observaciones proceden de los casos en los que sólo hemos seguido $W$ . Por lo tanto, las observaciones de la varianza histórica nos harían subestimar $\sigma_{BS}=\sigma$ .