El valor esperado de Black-Scholes

Question

(Disculpas por el formato de errores)

Dentro del Black Scholes modelo, dado que la estimación de la volatilidad de datos históricos - y todos los demás parámetros asumidos exacta - por lo general sustituye a la varianza de la muestra como una estimación puntual para la plaza de la volatilidad y evalúa la BScall usando ese punto de estimación.

Sin embargo, ¿por qué usamos una función de la estimación de punto en lugar del valor esperado de la distribución de la estimación?

La varianza de la muestra sigue una distribución Chi-Squared, así que ahora tenemos una distribución de los valores de la Opción de Llamada basa en observar la muestra y la varianza grados de libertad.

$$ D\sim BSCall \left( \frac{(n-1) \text{s}^2}{\chi_{n-1} ^2} \right) $$

El Valor Esperado de la distribución rara vez es igual a la función de la estimación de punto.

Ejemplo, suponga que la varianza de la muestra fue .25 de 52 semanal devuelve (para n=51 valores utilizados para la estimación de la varianza):

$$ S=100\\ K=95\\ r=0.10 \\ s^2=.25\\ T=0.25\\ $$

Se obtiene el cálculo del punto de

$$ BSCall(s^2)=13.6953 $$

Pero

$$ E[D]=13.8372 $$

con el 95% de intervalos de confianza de {12.2222, 15.9196}

De hecho

$$ P[D>BSCall(s^2)]=0.525 $$

La pregunta es doble:

1. Para el uso de datos históricos, para qué los utilizamos una función de la estimación de punto en lugar del valor esperado de la distribución de la estimación?

2. Si se utiliza la estimación de punto, significa lo anterior implica que hay un 52% de probabilidades de que la opción call es realmente infravalorado?

Gracias

Answer 1

Dos partes

1. Mundo Real vs riesgo neutral: Puede incluso podemos calcular el riesgo neutral volatilidad utilizando datos históricos? Hay una diferencia en la distribución del precio de las acciones subyacentes bajo el mundo real y el riesgo neutral medidas. Por suerte, cambiando el riesgo neutral medida no afecta a la volatilidad, sólo la deriva. Por lo tanto, un mundo real medida de la volatilidad va a estimar correctamente el riesgo neutral volatilidad. En el BS marco, se asume que el precio de las acciones es un Ito deriva del proceso de difusión con coeficientes constantes. En las ecuaciones; $$S_t = S_0 \exp\{(\mu \sigma^2/2)t + \sigma W_t\} = S_0 \exp\{(r - \sigma^2/2)t + \sigma (W_t - \frac{\mu - r}{\sigma}t)\} \\ = S_0 \exp\{(r - \sigma^2/2)t + \sigma W_t^\estrellas\} $$ ver que la volatilidad es el mismo al escribir la ecuación del precio de las acciones en el mundo real o de riesgo neutral.
2. Estimación: Hay más buenas noticias, si usted mira en la Inferencia Estadística, por Casella y Berger usted puede encontrar que, dada cualquier función $f$, y cualquier estimador de máxima verosimilitud $\hat\Theta$ que el estimador de máxima verosimilitud $\widehat{f(\Theta)}$ es exactamente $f(\hat\Theta)$ este es sometmies conoce como "plug-in-director de la MLE". Por lo tanto cuando usted está conectando en su MLE estimado de $\hat\sigma^2$ en el BS fórmula en este caso tomando el lugar de $f$ , usted todavía la obtención de la MLE. Porque es el MLE, también sabemos que alcanza la cramer rao el límite inferior de la varianza asintóticamente! Aún más buenas noticias, podemos introducir (asintótica) de precios de los intervalos de confianza en nuestro análisis mediante el método delta aproximación de la varianza de un estimador!

Answer 2

Black-Scholes es simplemente un modelo que intenta replicar lo que el mercado está haciendo. Por desgracia, ningún teórico de la estimación de la volatilidad (que no es el implícita) de que usted viene para arriba con la voluntad de ser malo.

De hecho, usted no desea utilizar histórico volatilidades en todo.

La única correcta volatilidad a utilizar es el de la VOLATILIDAD IMPLÍCITA. Y la razón por la que esto funciona es porque está diseñado para ser el que hace el trabajo de modelo. (suena redundante, pero esto es por qué se llama implícita... el Implícita en el modelo)