Pendiente de una función de producción

Question

Sea $F(K,L)$ una función de producción con variables $K$ para el capital y $L$ para el trabajo.

La pendiente de $F(\overline{K},L)$ ($K$ tomado constante) está definida como el producto marginal del trabajo ($MPL$) de la siguiente manera:

$$MPL=F(K,L+1)-F(K,L)$$

La mayoría de las funciones de producción tienen una pendiente positiva decreciente debido al producto marginal decreciente y, por lo tanto, no son líneas rectas. ¿Cómo sigue siendo válida la fórmula de $MPL$? ¿No es la misma fórmula para encontrar una pendiente $m$ de una línea (es decir, $\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x{1}}$)? Si tomamos cualquier función cuya representación no es una línea, su pendiente en un punto determinado es igual a la pendiente de la tangente en el punto y no a la fórmula para la pendiente $m$.

Además, suponiendo que la fórmula dada para $MPL$ es cierta, ¿no deberíamos tener también $MPL=\frac{\partial F}{\partial L}$?

Answer 1

La derivada (parcial) de una función continua se define como \begin{align} \frac{\partial F(\overline K, L)}{\partial L} := \lim_{\Delta L \to 0}\frac{F(\overline K, L + \Delta L) - F(\overline K, L)}{\Delta L}. \end{align> Ahora, si $L \in \mathbb{N}$, entonces tienes un límite inferior para el incremento $\mathbb{N} \ni \Delta L \geq 1$. De lo contrario, la definición anterior no está bien definida para $\Delta L = 0. Por lo tanto, finalmente llegamos a la aproximación \begin{align} \frac{\partial F(\overline K, L)}{\partial L} \approx \frac{F(\overline K, L + 1) - F(\overline K, L)}{1}. \end{align>