Sí.
Puede resultar útil ver por qué / cómo el movimiento browniano juega un papel en el crecimiento de una acción en general, y entonces el papel que desempeña en la fijación de precios de los derivados, ya que ésta es bastante compleja. La siguiente ecuación diferencial estocástica representa cómo el precio de una acción sigue un geométrico Movimiento browniano:
$dS(t) = \mu S(t)dt + \sigma S(t)\ dW(t, w)$
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donde $S(t)$ es el precio de la acción en un momento $t$ mayor o igual a 0 (y la cantidad que es $S(t)$ es una variable aleatoria.
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$\mu > 0$ es la tasa de crecimiento del precio de la acción (y se supone que es constante, es decir, independiente del estado del sistema).
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$\sigma > 0$ es la volatilidad de la acción, que también se supone constante.
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$W(t)$ es un estándar Movimiento browniano (también conocido como Proceso Weiner - lo mismo, Marrón lo descubrió pero era un botánico por lo tanto no podía explicarlo, entonces Weiner llegó y fue capaz de explicarlo).
El media de este SDE sería
$\mathbf{E}[S(t)] = S_{0}e^{\mu t}$
y la varianza se describiría como
$Var [S(t)] = S_{0}^2e^{2 \mu t}(e^{\sigma ^2t-1}$ )
Ahora con respecto a:
es el $dB$ tratando de representar las fluctuaciones "aleatorias" de S a partir del de las personas que negocian las acciones o intenta capturar los movimientos observados en S como resultado de información externa, como las ganancias de la empresa o algunas noticias geopolíticas.
Como ha dicho Alex C en los comentarios, ambas interpretaciones son válidas, ya que el movimiento browniano geométrico se establece para dar cuenta de las fluctuaciones aleatorias que experimentan los activos, y dado que el movimiento browniano geométrico se considera lo que se conoce como un Proceso de Markov Se supone que el comportamiento pasado / las fluctuaciones / los precios / lo que sea son ya incorporado. Así es también como Hipótesis del mercado eficiente juega en este sentido, como ya se ha dicho: La HME es la idea de que los precios de los activos son totalmente reflectante de toda la información disponible, es decir, volviendo a esa idea de que se incorporan todas las fluctuaciones anteriores del precio. Este también significa que todas las fluctuaciones / movimientos futuros del precio del activo van a ser independiente de las condiciones .
También podemos representarlo con
$\frac{\Delta}{\Delta S} = \mu \Delta t + \sigma \epsilon \sqrt{\Delta t}$
de nuevo donde $S$ es el precio de las acciones, $\mu$ es el rendimiento esperado, $\sigma$ es la desviación estándar de los rendimientos, $t$ es el tiempo, y $\epsilon$ es una variable aleatoria.
Esto puede ser reordenado trivialmente para que podamos resolver sólo el cambio en el precio de las acciones $S$ .
$\Delta S = S(\mu \Delta t + \sigma \epsilon \sqrt{\Delta T})$
aunque vemos que un par de cosas han cambiado un poco, principalmente ahora tenemos un primer término que representa la deriva y el segundo que es el shock, es decir, el precio va a derivar hacia arriba según el rendimiento esperado - y aquí es donde entra el shock ya que (dependiendo de lo que haga la deriva) se va a sumar o restar a la deriva.
Creo que esta puede ser una buena manera de visualizar esto si toda la teoría de las probabilidades es demasiado; pensar que un activo está siguiendo estos pasos incrementales, y donde cada uno de estos pasos son una deriva a la que se le suma o resta el choque.
El movimiento browniano geométrico tiene un par de propiedades que lo hacen atractivo para ser utilizado para modelar ciertas partes de los modelos de fijación de precios de los derivados.
- Una de las razones es que $S(t) > 0$ para todos $t \in [0, T]$ que debería tener sentido intuitivamente en este contexto de opciones de precios.
- La normalidad: Los incrementos del movimiento browniano se definen como el tiempo $t$ entre otros dos momentos, digamos $s$ y $s + t$ va a ser $B_{s+t} - B_{s}$ también con $N(0, t)$ ... lo que significa que se distribuye normalmente con media y varianza cero $t$ .
- Ser continuo; $B_{t}$ tiene la trayectoria continua, así como $B(t ,0) = 0$ .
si parece que algunas cosas no tienen sentido, entonces no eres el único ni te has topado con algo profundo, ya que es bien sabido que hay problemas con los modelos actuales de fijación de precios de las opciones y cómo el movimiento browniano geométrico juega en esto. Le recomiendo que lea ¿Por qué debemos esperar que el movimiento geométrico browniano modele los precios de los activos? para obtener más información sobre su uso y sus limitaciones.
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Ambas interpretaciones son válidas. Representa los cambios aleatorios en el precio por la negociación de las acciones. Para los partidarios de la hipótesis de los mercados eficientes, esos cambios se deben a la reacción a la información externa y, por tanto, la segunda interpretación también es válida.
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+1 Me gusta esta pregunta, no estoy del todo seguro de por qué tenemos 2 votaciones ajustadas sobre ella. Está llegando a algo de enfoque central en el campo de la fijación de precios de los derivados que es, de hecho, bastante confuso. Aunque es posible que lo que se busca ya esté cubierto aquí de alguna manera: quant.stackexchange.com/questions/14755/ Si no es así, espero que mi respuesta haya aclarado lo que buscabas, y si no es así, especifica.