¿Por qué deberíamos esperar que el movimiento geométrico Browniano modele los precios de los activos?

Question

Descargo de responsabilidad: Soy un completo ignorante en finanzas, por lo que este puede ser un foro inapropiado para que yo haga una pregunta.

Soy matemático y no sé nada sobre finanzas. Escuché de una fuente popular que algo llamado la ecuación de Black-Scholes se usa para modelar los precios de las opciones. Por curiosidad, recurrí a Wikipedia para aprender sobre el modelo. Me sorprendí al enterarme de que asume que el logaritmo del precio de un activo sigue un movimiento browniano con deriva (y luego se dice que el precio del activo en sí mismo sigue un movimiento browniano "geométrico"). ¿Por qué, me pregunté, debería ser ese un buen modelo? Puedo entender que los precios de los activos deben ser impredecibles o de lo contrario los operadores expertos podrían vencer al mercado al predecirlos, pero parecería haber muchas alternativas impredecibles al movimiento browniano geométrico.

He encontrado una fuente que aborda mi pregunta, el siguiente capítulo de un libro: http://www.probabilityandfinance.com/chapters/chap9.pdf y un argumento al que alude en el capítulo 11 del mismo libro. El análisis aquí parece muy interesante, y me pregunto si es generalmente aceptado en la comunidad financiera. No lo he estudiado lo suficiente como para entender qué tan realistas son sus suposiciones, sin embargo. Aparentemente depende de una suposición de "tiempo continuo" que parece que no ser muy realista dado que los mercados reales se mueven en respuesta a eventos de noticias discretos como anuncios de ganancias.

Answer 1

• Para proporcionar una respuesta directa: No es un buen modelo. Nunca lo fue, nunca lo será. Hasta que todos no lleguemos a un mejor modelo que proporcione una mayor precisión en la modelización mientras sea igualmente intuitivo y haga supuestos simplificadores similares, el modelo BS con su componente de movimiento browniano geométrico está aquí para quedarse.

• En realidad no importa qué modelo acuerde el mercado usar con el fin de traducir entre un precio de opción y su volatilidad implícita. BS es simplemente una herramienta de traducción, nada más, nada menos. Lo que realmente está valuado por el mercado es la volatilidad implícita. Sin embargo, lo que se intercambia es el precio de la opción. Por lo tanto, mientras el mercado esté de acuerdo en un modelo estandarizado no importa exactamente de qué modelo estemos hablando. Ejemplo: Cuando un bróker y un trader de compra-venta acuerdan los detalles de una opción europea o americana estándar, obviamente tienen que ponerse de acuerdo en el precio, sin embargo, si el precio difiere significativamente entre ambos escritorios entonces ambos traders interactúan sobre qué vols implícitas están teniendo en cuenta. Por lo tanto, el modelo y el movimiento browniano subyacente juegan un papel muy insignificante en este contexto particular.

• Los modelos y sus supuestos subyacentes se vuelven mucho más importantes al predecir los precios de activos, así como al fijar precios de productos derivados no estándar (también conocidos como no vanilla) donde el modelo es suficientemente complejo y hay una serie de variables de entrada que hacen una diferencia significativa en la elección de modelos. Ejemplo: Una nota estructurada de tasas de interés más compleja, como un PRDC. Es muy fácil llegar a una diferencial de precios de 50 puntos básicos-1% al hacer ajustes leves a los supuestos de modelización, la forma en que se calculan las correlaciones, o lo que sea.

• Los modelos no se crean o eligen en función de si los "traders inteligentes" pueden "vencer" al mercado. El mercado en mi humilde opinión es quizás la segunda construcción más compleja después del cerebro humano, más complejo que cualquier concepto en Física, Matemáticas u otras ciencias. Nada en el mercado es estable, estamos expuestos a complejidades, correlaciones y dinámicas de micro mercado en constante evolución. Los modelos se eligen para aproximar de alguna manera las propiedades estadísticas del comportamiento del mercado pero mucho por su simplicidad e intuición. Puede ser sorprendente para algunos académicos que la mayoría de los practicantes experimentados en trading le dan mucha más importancia, tiempo y esfuerzos a mejorar los modelos de gestión de riesgos y limitación de riesgos así como enfoques que a los modelos de precios con pleno conocimiento de que los modelos de precios siempre serán imperfectos y nunca capturarán todas las dinámicas del mercado. También puede estar en completo desacuerdo con muchos cuantitativos puros cuando digo que es totalmente irrelevante si precio una opción utilizando un movimiento browniano geométrico o aritmético. Seguro que terminaremos con un precio de opción diferente, ¿pero qué importa? ¿Cuál es más preciso? No importa. ¿Por qué? Ejemplo: Si mi modelo constantemente sobreprecia los precios de las opciones entonces pago cada vez por encima del mercado justo cuando compro y no puedo vender a otros practicantes de mercado a los precios que considero justos. ¿Qué haré? Ajustaré mi modelo hasta llegar a donde la mayoría de los otros practicantes valoran. ¿Resultado? La mayoría de los traders alinean sus modelos como patitos en fila. Más o menos todos los modelos en la calle son idénticos. Y si surge un nuevo modelo o alguien hace ligeras mejoras que valen la pena estudiar, puede confiar en mí que dicho modelo llegará (legal o ilegalmente) a través de la mayoría de los escritorios de las empresas en poco tiempo. El resultado es el mismo en que la mayoría de los practicantes valoran con modelos muy similares, puedes llamarlo Black Scholes o como quieras.

• Mi evaluación sobria de cómo "diseñar" ganancias estadísticamente significativas en el mercado es que hay muy pocos que realmente entienden las relaciones entre la economía real y las dinámicas del mercado. Muy pocos superan consistentemente al mercado en general. ¿Adivina qué es lo que la mayoría de ellos tienen en común? Una asombrosa disposición y habilidad para comprar riesgos de aquellos cuyos límites de riesgo son superados (emocionalmente o a través de límites codificados) y una atención increíble al detalle en lo que respecta a gestionar la exposición al riesgo. Un pequeño grupo de esa minoría está aplicando conceptos cuantitativos o matemáticos a cómo invierten y operan.

Answer 2

Si al principio no tienes un modelo en absoluto, entonces el movimiento Browniano geométrico no es malo. Como otros antes que yo dijeron: los log-retornos se distribuyen normalmente en este modelo. Esto es discutible y hay momentos y mercados donde esto no es cierto. Hay más que suficiente investigación al respecto.

Pero, ¿por qué un modelo basado en el movimiento Browniano no es tan malo? La razón es que si tienes un proceso continuo con incrementos independientes, entonces simplemente es movimiento Browniano (es una especie de aplicación del teorema del límite central). Este es el único proceso posible.

Si asumes incrementos independientes y otras distribuciones entonces los procesos son los llamados procesos de Levy que tienen saltos. Por ejemplo, si asumes que los retornos siguen una distribución t entonces estás en el mundo de los procesos de Levy y las trayectorias ya no son continuas.

Así que la respuesta corta: modelar saltos es complicado. Si modelas sin saltos (y con incrementos independientes) entonces basas tu modelo en el movimiento Browniano.

adicional: el movimiento Browniano geométrico puede ser enriquecido: aplicar parámetros dependientes del tiempo o estocásticos (especialmente la volatilidad) o aplicar un movimiento Browniano cambiado en el tiempo (lo que llevará a un proceso de Levy) y así sucesivamente.

Answer 3

Movimiento browniano - porque es simple, y resulta en soluciones intuitivas en forma cerrada, y no es una terrible descripción de los precios de los activos, especialmente cuando se emplea en el tiempo de eventos de alta frecuencia.

Geométrico - porque los rendimientos se acumulan, y las acciones no pueden caer por debajo de cero debido al hecho de que son corporaciones de responsabilidad limitada

Hay muchos, muchos otros modelos, pero a veces lo que se gana en potencia se pierde en la estabilidad de calibración de los parámetros, lo cual es importante para la cobertura rentable.

Answer 4

Básicamente, Black-Scholes es una fórmula "estándar en la industria". Es ampliamente utilizada por los profesionales y generalmente complementada con especificaciones adicionales o intuición.

Tiene una solución de forma cerrada, lo cual es raro en modelos de precios de opciones. También es relativamente simple de entender. De lo contrario, generalmente necesitas depender de la simulación de Monte Carlo u otro método. Y honestamente, el nivel adicional de sofisticación no es tan deseable.

Las partes de la fórmula se utilizan para cobertura. Ver Griegos. Muchos operadores utilizan este tipo de información.

¿Es BS incorrecto? Claro. Muchas de sus suposiciones pueden ser condenadas por ser poco realistas (por ejemplo, la suposición de volatilidad constante). Pero esas suposiciones son necesarias para obtener esa fórmula simple con alguna aproximación a la realidad.

¿Es GBM incorrecto? Claro. Muchos estudios muestran que el comportamiento del logaritmo de retorno es leptocúrtico (colas altas, cabeza alta), asimétrico y propenso a saltos. Ver sonrisa de volatilidad. Pero es adecuado la mayor parte del tiempo. Sin embargo, la diferencia se nota en momentos extraordinarios (crisis de 2008, crash de 1987, etc.)

En el ámbito académico, BS es un punto de referencia para nuevos métodos y estudios comparativos. Como en cualquier pionero en cualquier campo, siempre hay métodos nuevos ansiosos por demostrar que son "mejores que el punto de referencia". De lo contrario, significa que tu método es tan malo que no puede superar a uno de hace casi 40 años.

No hay una bala mágica en el mundo financiero y BS es algo aceptado que te permite justificar tus movimientos en el mercado.

Answer 5

La distribución normal es una distribución muy potente:

• Según el teorema del límite central, la media de cualquier muestra grande siempre converge a la distribución normal
• Teniendo en cuenta el modelo más simple de Árbol Binomial, donde el precio solo sube o baja en cada periodo, se puede demostrar que la distribución de rendimientos de este árbol converge a la Normal para pasos de tiempo infinitesimales

Por lo tanto, es una buena elección para modelar los precios de los activos.