Pregunta sobre el ajuste de la curva de rendimiento de Wilmott en Quant Finance p.529

Question

Mi última pregunta está relacionada.

En la parte superior de la p. 529, dice,

"A partir de la expansión de la serie de Taylor para $Z$ encontramos que el rendimiento al vencimiento está dado por

$$-\frac{log Z(r,t;T)}{(T-t)}\approx-a+\left(\frac{1}{2}a^{2}-b\right)(T-t)+\left(ab-c-\frac{1}{3}a^{3}\right)(T-t)^{2}+\dots$$

para tiempos cortos al vencimiento."

Sabemos que derivamos el rendimiento al vencimiento a partir de la inversa de la ecuación del bono cupón cero

$$Z(r,t;T)=e^{-r(T-t)}$$

tomando logaritmos, dividiendo por $(T-t)$ y multiplicando ambos lados por $-1$.

Si sustituimos las soluciones para $a(r)$, $b(r)$ y $c(r)$ en la expansión de serie de $Z$ de la p.528 tenemos que $Z$ es igual a

$$ Z\approx-r(T-t)+(\frac{1}{2}r^2-\frac{1}{2}(u-\lambda w))(T-t)^2+... $$

Pero la solución proporcionada en la p. 529 muestra que aún no se han hecho tales sustituciones para los valores de a, b y c.

Tomar logaritmos, dividir por $(T-t)$ y multiplicar ambos lados por $-1$ en nuestra ecuación no nos da

$$-\frac{log Z(r,t;T)}{(T-t)}\approx-a+\left(\frac{1}{2}a^{2}-b\right)(T-t)+\left(ab-c-\frac{1}{3}a^{3}\right)(T-t)^{2}+\dots$$

y tampoco comenzar con

$$Z\approx 1+a(r)(T-t)+b(r)(T-t)^2+c(r)(T-t)^3$$

y tomar logaritmos, etc..

Así que, obviamente estoy comenzando desde el lugar incorrecto. ¿Puedes ayudarme a ver con qué $Z$ debo comenzar? No creo que sean los cálculos con los que tengo problemas, tengo problemas para ver el plan, como diría Polya.

Gracias de antemano.

Answer 1

¿El autor está tomando logaritmos (y dividiendo por (T-t), etc) de nuestra expansión Z anterior de la página anterior?

Sí, como verás si intentas hacer el cálculo. ¿Qué te impidió descubrirlo por ti mismo? (Estoy tratando de ser constructivo).

Matemáticamente, no coincide con lo que el autor proporciona como respuesta. ¿Qué me estoy perdiendo aquí?

Probablemente lo explica la secuela del libro.

Answer 2

Como dijo @michipilli, si

• $Z = 1+ as + bs^2 + cs^3$ (donde he sustituido $T-t$ por $s$ para facilitar la notación y también he suprimido las dependencias de $a$, $b$ y $c) y
• $\log (1+\zeta) = \zeta - \frac{1}{2}\zeta^2 + \frac{1}{3}\zeta^3 + ...$ entonces,

\begin{align*} \log Z &= (as + bs^2 + cs^3) - \frac{1}{2}(as + bs^2 + cs^3)^2 + \frac{1}{3}(as + bs^2 + cs^3)^3 + ... \end{align*} y \begin{align*} -\frac{\log Z}{s} &= -\frac{1}{s}(as + bs^2 + cs^3) +\frac{1}{2s}(as + bs^2 + cs^3)^2 - \frac{1}{3s}(as + bs^2 + cs^3)^3 + ... \end{align*} Ahora,

• $(as + bs^2 + cs^3)^2 = a^2s^2 + b^2s^4 + 2acs^4 + 2abs^3 + o(s^5)$
• $(as + bs^2 + cs^3)^3 = a^3s^3 + 3a^2bs^4 + o(s^5)$

Sustituyendo de vuelta obtenemos \begin{align*} -\frac{\log Z}{s} &= -a - bs - cs^2 + \frac{a^2s}{2} + \frac{b^2s^3}{2} + acs^3 + abs^2 - \frac{a^3s^2}{3} - a^2bs^3 + o(s^3)\\ &= -a + \left(\frac{a^2}{2} - b\right)s + \left(ab -c -\frac{a^3}{3}\right)s^2 + o(s^3) \end{align*}

lo cual es lo que deseas.