Pregunta sobre el ajuste de la curva de rendimiento de Wilmott en Quant Finance p.529

Question

Mi última pregunta está relacionado.

En la parte superior de la p. 529, dice,

"De la expansión de la serie Taylor para $Z$ encontramos que el rendimiento al vencimiento viene dado por

$$-\frac{log Z(r,t;T)}{(T-t)}\approx-a+\left(\frac{1}{2}a^{2}-b\right)(T-t)+\left(ab-c-\frac{1}{3}a^{3}\right)(T-t)^{2}+\dots$$

para tiempos cortos hasta la madurez".

Sabemos que derivamos el rendimiento al vencimiento de la inversa de la ecuación del bono cupón cero

$$Z(r,t;T)=e^{-r(T-t)}$$

tomando los logaritmos y dividiendo por $(T-t)$ y multiplicando ambos lados por $-1$ .

Si se introducen las soluciones de $a(r)$ , $b(r)$ y $c(r)$ en la expansión en serie de $Z$ de la p.528 tenemos que $Z$ es igual a

$$ Z\approx-r(T-t)+(\frac{1}{2}r^2-\frac{1}{2}(u-\lambda w))(T-t)^2+... $$

Pero la solución proporcionada en la p. 529 muestra que aún no se han hecho tales sustituciones para los valores de a, b y c.

Tomando troncos, dividiendo por $(T-t)$ y multiplicando ambos lados por $-1$ en nuestra ecuación no nos da

$$-\frac{log Z(r,t;T)}{(T-t)}\approx-a+\left(\frac{1}{2}a^{2}-b\right)(T-t)+\left(ab-c-\frac{1}{3}a^{3}\right)(T-t)^{2}+\dots$$

y tampoco lo hace empezar con

$$Z\approx 1+a(r)(T-t)+b(r)(T-t)^2+c(r)(T-t)^3$$

y tomar registros, etc.

Así que, obviamente, estoy empezando desde el lugar equivocado. ¿Puede ayudarme a ver qué $Z$ ¿para empezar? No creo que sean los cálculos con los que tengo problemas, tengo problemas para ver el plan, como diría Polya.

Gracias de antemano.

Answer 1

¿Está el autor tomando los registros (y dividiendo por (T-t), etc.) de nuestra anterior expansión Z de la página anterior?

Lo hace, como verás si intentas hacer el cálculo. ¿Qué has evitado para descubrir esto por ti mismo? (Intento ser constructivo).

Matemáticamente, no cuadra con lo que el autor proporciona como respuesta. ¿Qué me falta aquí?

La secuela del libro probablemente lo cuente.

Answer 2

Como dijo @michipilli, si

• $Z = 1+ as + bs^2 + cs^3$ (donde he sustituido $T-t$ por $s$ para facilitar la notación y también se han suprimido las dependencias de $a$ , $b$ y $c$ ) y
• $\log (1+\zeta) = \zeta - \frac{1}{2}\zeta^2 + \frac{1}{3}\zeta^3 + ...$ entonces,

\begin{align*} \log Z &= (as + bs^2 + cs^3) - \frac{1}{2}(as + bs^2 + cs^3)^2 + \frac{1}{3}(as + bs^2 + cs^3)^3 + ... \end{align*} y \begin{align*} -\frac{\log Z}{s} &= -\frac{1}{s}(as + bs^2 + cs^3) +\frac{1}{2s}(as + bs^2 + cs^3)^2 - \frac{1}{3s}(as + bs^2 + cs^3)^3 + ... \end{align*} Ahora,

• $(as + bs^2 + cs^3)^2 = a^2s^2 + b^2s^4 + 2acs^4 + 2abs^3 + o(s^5)$
• $(as + bs^2 + cs^3)^3 = a^3s^3 + 3a^2bs^4 + o(s^5)$

Sustituyendo de nuevo obtenemos \begin{align*} -\frac{\log Z}{s} &= -a - bs - cs^2 + \frac{a^2s}{2} + \frac{b^2s^3}{2} + acs^3 + abs^2 - \frac{a^3s^2}{3} - a^2bs^3 + o(s^3)\\ &= -a + \left(\frac{a^2}{2} - b\right)s + \left(ab -c -\frac{a^3}{3}\right)s^2 + o(s^3) \end{align*}

que es lo que usted desea.