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Equilibrio de Nash de estrategia mixta en un juego de 3x3

¿Cuál es el MSNE para el siguiente juego?

introducir descripción de la imagen aquí


Creo que se pueden eliminar las estrategias $A$ para el jugador 1 y $C$ para el jugador 2, ya que estas serán débilmente dominadas por todas las demás estrategias. Entonces, el juego se convierte en un juego 2x2 con $B,C$ para el jugador 1 y $A,B$ para el jugador 2.

Sea $q$ y $1-q$ la probabilidad de que el jugador 2 juegue $A$ y $B$ respectivamente, y $p$, $1-p$ la probabilidad de que el jugador 1 juegue $B$ y $C$. Entonces, en el equilibrio $q=1/4$ y $p=1/3$. Entonces, el equilibrio es

$$(0,1/3,2/3); (1/4,3/4,0).$$

¿Es esto correcto?

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@denesp. Más o menos lo sospechaba. No he podido resolverlo sin eliminar estrategias...

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@HerrK. Tienes razón. Lo siento, no debería haber sido tan apresurado al leer tu pregunta.

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Coincoin Puntos 12823

El procedimiento general para resolver una Estrategia de Nash en un juego de 3 por 3 (o más grande) siempre es un poco complicado e implica un poco de ensayo y error.

  • Paso 1: Conjeturar (es decir, adivinar) un subconjunto de estrategias que se utilizarán en el equilibrio
  • Paso 2: Calcular sus probabilidades usando la condición de indiferencia
  • Paso 3: Verificar que el payoff de equilibrio no puede mejorarse unilateralmente; es decir, ningún jugador tiene un incentivo estricto para desviarse a otra estrategia.

Supongamos que tus estrategias conjeturadas son $\{B,C\}\times\{A,B\}$ (realmente no importa cuál sea la base de tu conjetura; vas a descubrir de alguna manera si es correcta). A continuación, calcula las probabilidades usando las condiciones de indiferencia de los jugadores. Sea $p=\sigma_1(B)$ y $q=\sigma_2(A)$, tenemos: \begin{align} -3p&=-1 &&\Rightarrow\quad p=1/3\\ 3q+1-q&=1-q &&\Rightarrow\quad q=0. \end{align} [Esto sugiere que tu cálculo para $q$ fue incorrecto.]

Por último (este es el paso más fácil de olvidar), verifica que nadie tiene un incentivo para desviarse de este equilibrio. En este caso, el payoff del jugador 1 es $1$, que ya es el más alto dado la estrategia del jugador 2 de elegir $B$ con probabilidad 1. Él estaría indiferente entre mezclar en otras proporciones sobre $B$ y $C, y su payoff es estrictamente menor si juega $A$ con probabilidad positiva.

El payoff esperado del jugador 2 en este equilibrio es $-1$, que también es el más alto dado la estrategia mixta del jugador 1. Ella está indiferente entre mezclar sobre $A$ y $B con cualquier otra proporción y está estrictamente peor si $C$ se juega con probabilidad positiva.

Así que, una Estrategia de Nash en Matrices Simétricas es $((0,1/3,2/3),(0,1,0))$. Esto solo es marginalmente consistente con tu conjetura inicial porque $\sigma_2(A)=0. Pero sigue siendo una Estrategia de Nash. De hecho, hay infinitas Estrategias de Nash de este tipo: $((0,p,1-p),(0,1,0))$ donde $p\ge1/3. Esta es una descripción completa de todos los equilibrios (incluido el puro) en este juego.

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