El procedimiento general para resolver una Estrategia de Nash en un juego de 3 por 3 (o más grande) siempre es un poco complicado e implica un poco de ensayo y error.
- Paso 1: Conjeturar (es decir, adivinar) un subconjunto de estrategias que se utilizarán en el equilibrio
- Paso 2: Calcular sus probabilidades usando la condición de indiferencia
- Paso 3: Verificar que el payoff de equilibrio no puede mejorarse unilateralmente; es decir, ningún jugador tiene un incentivo estricto para desviarse a otra estrategia.
Supongamos que tus estrategias conjeturadas son $\{B,C\}\times\{A,B\}$ (realmente no importa cuál sea la base de tu conjetura; vas a descubrir de alguna manera si es correcta). A continuación, calcula las probabilidades usando las condiciones de indiferencia de los jugadores. Sea $p=\sigma_1(B)$ y $q=\sigma_2(A)$, tenemos: \begin{align} -3p&=-1 &&\Rightarrow\quad p=1/3\\ 3q+1-q&=1-q &&\Rightarrow\quad q=0. \end{align} [Esto sugiere que tu cálculo para $q$ fue incorrecto.]
Por último (este es el paso más fácil de olvidar), verifica que nadie tiene un incentivo para desviarse de este equilibrio. En este caso, el payoff del jugador 1 es $1$, que ya es el más alto dado la estrategia del jugador 2 de elegir $B$ con probabilidad 1. Él estaría indiferente entre mezclar en otras proporciones sobre $B$ y $C, y su payoff es estrictamente menor si juega $A$ con probabilidad positiva.
El payoff esperado del jugador 2 en este equilibrio es $-1$, que también es el más alto dado la estrategia mixta del jugador 1. Ella está indiferente entre mezclar sobre $A$ y $B con cualquier otra proporción y está estrictamente peor si $C$ se juega con probabilidad positiva.
Así que, una Estrategia de Nash en Matrices Simétricas es $((0,1/3,2/3),(0,1,0))$. Esto solo es marginalmente consistente con tu conjetura inicial porque $\sigma_2(A)=0. Pero sigue siendo una Estrategia de Nash. De hecho, hay infinitas Estrategias de Nash de este tipo: $((0,p,1-p),(0,1,0))$ donde $p\ge1/3. Esta es una descripción completa de todos los equilibrios (incluido el puro) en este juego.
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@denesp. Más o menos lo sospechaba. No he podido resolverlo sin eliminar estrategias...
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@HerrK. Tienes razón. Lo siento, no debería haber sido tan apresurado al leer tu pregunta.