La curva de rendimiento de ejemplo de adaptación en Wilmott en Cuanto Finanzas p.528

Question

En Wilmott en Finanzas Cuantitativas Vol. 2, p. 528, Sección 31.4.2, se le da un poder de expansión de la serie de un bono cupón cero

$A$Z(r,t;T)=1+a(r)(T-t)+b(r)(T-t)^2+c(r)(T-t)^3+\dots$$

luego dice que sustituir esto en el precio de los bonos de la ecuación, que es, por supuesto,

$$Z_t+\frac{1}{2}w^2Z_{rr}+(u+\lambda w)Z_r-rZ=0$$

el resultado de las cuales se da como

$$-un-2b(T-t)-3c(T-t)^{2}+\frac{1}{2}\left(w^{2}-2(T-t)w\frac{\partial w}{\partial t}\derecho)\left(\left(T-t\right)\frac{\partial^{2}a}{\partial r^{2}}+(T-t)^{2}\frac{\partial^{2}b}{\partial r^{2}}\derecho)$$ $$\text{ }+\left(\left(u-\lambda w)-(T-t\right)\frac{\partial\left(u-\lambda w\ \ derecho)}{\partial t}\right)(T-t)\left(\frac{da}{dr}+\left(T-t\right)^{2}\frac{db}{dr}\right)-r\left(1+a(T-t)+c(T-t)^{2}\right)+\dots=0$$

Mi interrogante, para empezar, es que no sé cómo la primera parenthical agrupación en cada uno de

$$\left(w^{2}-2(T-t)w\frac{\partial w}{\partial t}\derecho)\left(\left(T-t\right)\frac{\partial^{2}a}{\partial r^{2}}+(T-t)^{2}\frac{\partial^{2}b}{\partial r^{2}}\right)$$

y

$$\left(\left(u-\lambda w)-(T-t\right)\frac{\partial\left(u-\lambda w\ \ derecho)}{\partial t}\right)(T-t)\left(\frac{da}{dr}+\left(T-t\right)^{2}\frac{db}{dr}\right)$$

términos llegó a ser (y el último de la línea, parece que la fe de erratas para el parcial en $r$, no debería ser de $\left((T-t)\frac{da}{dr}+\left(T-t\right)^{2}\frac{db}{dr}\right)$ no precedido por el $(T-t)$ plazo (porque cuando se distribuye va a dar el mal de energía por $(T-t)$ en $\frac{db}{dr}$ plazo?

Cuando me calcular las derivadas parciales con respecto a $t$, $r$, y $rr$ a $Z$ no obtengo el mismo resultado para los parciales de $r$ y $rr$. Obviamente, algunos de los pasos que faltan. Hago la misma primeros tres términos como la que se da más arriba, debido a $Z_t$, pero después de que se aparta de la respuesta dada hasta $-rZ$ plazo al final del precio de los bonos de la ecuación (aunque, de nuevo, creo que debería haber sido un $b(T-t)^2$ en vez de $c(T-t)^2$ en el último término.

Sé que esto es pedir un poco más tal vez, pero cualquier ayuda es muy apreciada. Gracias de antemano.

Answer 1

Sus observaciones son bastante correctos.

Las agrupaciones son a causa de la impresión "Nota cómo he ampliado la deriva y la volatilidad de los términos en $t = T$; en el que por encima de estas se evalúan en $r$ y $T$." en la misma página (pág.528).

Básicamente, $w$ es una función tanto de $r$ y $t$. Como queremos usar $w(r,T)$ en lugar de los $w(r,t)$ nos taylor expandir $w(r,t)$ todo $w(r,T)$ con respecto a $t$. Lo mismo es cierto para las funciones de $w(r,t).$ Por lo tanto,

$$\begin{align} w(r,t)^2 &= w(r,T)^2 + (t-T)\frac{\partial w(r,T)^2}{\partial t}\\ & = w(r,T)^2 -2 (T-t)w(r,T)\frac{\partial w(r,T)}{\partial t} \end{align}$$

Lo mismo es cierto para $u(r,t) - \lambda w(r,t)$ donde ahora $u$ también puede ser una función de la $r$ y $t$: $$\begin{align} u - \lambda w(r,t) &= (u(r,T) - \lambda w(r,T)) + (t-T)\frac{\partial (u(r,T) - \lambda w(r,T))}{\partial t}\\ &= (u(r,T) - \lambda w(r,T)) - (T-t)\frac{\partial (u(r,T) - \lambda w(r,T))}{\partial t} \end{align}$$

Espero que esto se resuelve el enigma.

Otros puntos

1. Sí, hay una errata: debe ser de $\left((T-t)\frac{da}{dr}+\left(T-t\right)^{2}\frac{db}{dr}\right)$.

2. Debería haber sido un $b(T-t)^2$ en vez de $c(T-t)^2$ en el último término que señala al final de su pregunta.