¿Cuál es la correlación entre estas dos funciones de los GBM?

Question

Digamos que tengo dos GBMs correlacionados:

$$dA_t = A_t \sigma^A dW^A_t$$ $$dR_t = R_t \sigma^R dW^R_t$$ $$dW^R_t dW^A_t = \rho dt$$

Estoy tratando de fijar el precio de un derivado que se paga en el momento $T$ es:

$$\text{Payoff}_T = (A_TR_T - A_T \lambda)^+ $$

Mi idea era aplicar el método de Margrabe fórmula pero para ello necesito formular los dos procesos $X_t = A_t R_t$ y $Y_t = \lambda A_t$ como GBM para encontrar sus respectivas volatilidades y su correlación.

La primera es bastante trivial:

$$dY_t = d(\lambda A_t) = \lambda dA_t + \frac{1}{2} 0 = \lambda A_t \sigma^A dW^A_t = dY_t \sigma^A dW^A_t$$

que es claramente un GBM y $\sigma_Y = \sigma^A$ .

Pero estoy luchando por expresar la segunda, lo que se me ocurrió hasta ahora es:

$$ \begin{align} d(A_t R_t) & = & A_t dR_t + R_t dA_t + dA_tdR_t \\ & = & A_t R_t \sigma^R dW^R_t + A_t R_t \sigma^A dW^A_t + A_t R_t \sigma^R \sigma^A \underbrace{dW^A_t dW^R_t}_{\rho dt} \\ & = & A_t R_t \left[ \sigma^R dW^R_t + \sigma^A dW^A_t + \sigma^R \sigma^A \rho dt \right] \end{align}$$

Pero aquí es donde estoy atascado, no puedo averiguar cómo expresar esto como un GBM "simple" ya que es claramente multivariable... ¿Me estoy perdiendo algo?

¿Hay alguna forma de seguir utilizando la fórmula de Margrabe para fijar el precio de mi opción?

Answer 1

Volviendo a la línea en la que está atascado. Si definimos $$ Z_t = \sigma^A/\bar{\sigma} W_t^A + \sigma^R/\bar{\sigma} W_t^R, $$ con $\bar{\sigma}^2 = (\sigma^A)^2 + 2 \sigma^A \sigma^R \rho + (\sigma^R)^2$ , entonces $Z_t$ es un movimiento browniano en su propia filtración y el primer y segundo momento son correctos.

A continuación, escribimos su última línea con $X_t = A_t R_t$ como $$ dX_t = X_t (\bar{\sigma} dZ_t + \sigma^A\sigma^R \rho dt), $$ con la solución $$ X_t = X_0 \exp((\sigma^A\sigma^R \rho - \bar{\sigma}^2/2) t + \bar{\sigma} Z_t), $$ que es un GBM con (!) deriva.

En la fórmula de Magrabe necesitas la covarianza (vol por vol por correlación) de los dos términos de difusión: $$ \begin{eqnarray} Cov(\bar{\sigma} Z_t, \lambda \sigma^A W^A_t) = Cov(\sigma^A W_t^A + \sigma^R W_t^R, \lambda \sigma^A W^A_t) &= \\ Cov(\sigma^A W_t^A,\lambda \sigma^A W^A_t) + Cov(\sigma^R W_t^R,\lambda \sigma^A W^A_t) &= \\ \sigma^A \lambda Cov(W_t^A,W_t^A) + \sigma^R \lambda \sigma^A Cov(W_t^R,W_t^A) &= \\ \sigma^A \lambda t + \sigma^R \lambda \sigma^A \rho t.& \end{eqnarray} $$