Nota: su anterior pregunta asumió la log-normalidad en lugar de la normalidad.
Mediante la descomposición de Cholesky, suponemos que, bajo la medida $P$ , \begin{align*} \frac{dR_t}{R_t} &= \mu_{R,t} dt + \sigma_{R,t}\, dW^1_t\\ \frac{dA_t}{A_t} &= \mu_{A,t} dt + \sigma_{A,t}\, d\left(\rho W^1_t + \sqrt{1-\rho^2} W^2_t\right), \end{align*} donde $W^1$ y $W^2$ son dos movimientos brownianos estándar independientes. En este caso, suponemos que $\mu_{R,t}$ , $\mu_{A,t}$ , $\sigma_{R,t}$ y $\sigma_{A,t}$ son deterministas o constantes. Definir la medida de probabilidad $\widetilde{P}$ tal que tenemos la derivada de Radon Nykodym \begin{align*} \frac{d\widetilde{P}}{dP}\big|_t &= \frac{A_t}{A_0}\frac{1}{e^{\int_0^t\mu_ {A,s}ds}}\\ &= \exp\left(-\frac{1}{2}\int_0^t\sigma_{A,s}^2 ds + \int_0^t\sigma_{A,s}\,d\left(\rho W^1_s + \sqrt{1-\rho^2} W^2_s\right)\right). \end{align*} Por el teorema de Girsanov, \begin{align*} \widetilde{W}^1_t &= W_t^1 - \rho \int_0^t \sigma_{A,s} ds \,\, \mbox{ and}\\ \widetilde{W}^2_t &= W_t^2 - \sqrt{1-\rho^2} \int_0^t \sigma_{A,s} ds \end{align*} son dos movimientos brownianos estándar independientes bajo $\widetilde{P}$ . Además, bajo $\widetilde{P}$ , \begin{align*} \frac{dR_t}{R_t} &= \left(\mu_{R,t}+\rho \sigma_{A,t} \sigma_{R,t}\right) dt + \sigma_{R,t}\, d\widetilde{W}^1_t. \end{align*} Tenga en cuenta también que \begin{align*} \frac{dP}{d\widetilde{P}}\big|_t &= \frac{A_0}{A_t}e^{\int_0^t\mu_ {A,s}ds}. \end{align*} Entonces, \begin{align*} E_P(A_T(R_T - \lambda)^+) &= E_{\widetilde{P}}\left(\frac{dP}{d\widetilde{P}}\big|_T A_T (R_T - \lambda)^+ \right)\\ &= A_0\, e^{\int_0^T\mu_{A, s} ds }\,E_{\widetilde{P}}\left( (R_T - \lambda)^+ \right), \end{align*} que se reduce a la fórmula de Black-Scholes. Aquí se omiten algunos detalles.
Si $\mu_{A,t}$ es el tipo de interés a corto plazo en el momento $t$ entonces $e^{\int_0^t\mu_ {A,s}ds}$ es el valor de la cuenta del mercado monetario en el momento $t$ .
