Superficie de volatilidad libre de arbitraje

Question

¿Por qué se considera el arbitraje de spread de calendario equivalente a $\partial_t \omega(k,t) \geq 0, \forall k \in \Bbb{R}$ donde $\omega(k,t) = \sigma^2(k,t) t$ y $\sigma(k,t)$ representa la sonrisa de volatilidad implícita de Black-Scholes en $t$.

¿Cuál es la motivación detrás de esta definición? Gracias por tu ayuda de antemano :)

Answer 1

Encontrarás aquí que en términos de precios de opciones europeas, la ausencia de arbitraje de calendario se expresa como $$\frac{\tilde{C}(k\, F(0,t_2),t_2)}{F(0,t_2)} \geq \frac{\tilde{C}(k \, F(0,t_1),t_1)}{F(0,t_1)}, \forall k \in \Bbb{R}, \forall \, 0 < t_1 < t_2 \tag{1}$$ donde $\tilde{C}(K,t)$ denota el precio de compra europeo no descontado para un precio de ejercicio $K$ y tiempo de vencimiento $t$ y $F(0,t)$ el precio a término subyacente para entrega en $t$ visto desde $0$.

Supongamos que te gustaría traducir esta desigualdad en términos de volatilidad implícita es decir, trabajando en un mundo de Black-Scholes. En ese entorno, es bien conocido que $$\frac{\tilde{C}(k \, F(0,t),t)}{F(0,t)} =: \mathcal{C}(k,w) = N(d_+(k,w)) - k N(d_-(k,w))$$ con $$d_{\pm}(k,w) = -\frac{\ln(k)}{\sqrt{w}} \pm \frac{1}{2}\sqrt{w}$$ donde hemos tomado $w = w(k,t) = \sigma^2(k,t) t$.

Luego la desigualdad $(1)$ puede ser reescrita como $$\mathcal{C}(k, w(k,t_2)) \geq \mathcal{C}(k, w(k,t_1)) \tag{2}, \, \forall k \in \Bbb{R}, \forall 0 < t_1 < t_2$$ lo cual se verifica si y solo si $\forall k \in \Bbb{R}$ $$\frac{\partial \mathcal{C}}{\partial t}(k,w(k,t)) \geq 0, \,\, \forall t\in \Bbb{R}^+$$ Por lo que esto se traduce a $$\frac{\partial \mathcal{C}}{\partial w}(k, w(k,t)) \frac{\partial w}{\partial t}(k,t) \geq 0$$ donde el primer término es positivo (ver enlace con la vega de BS) por lo tanto la conclusión.

Answer 2

La explicación simple es que, en ausencia de arbitraje de spread de calendario, deberíamos observar precios de opciones monótonos con respecto a la madurez. Y los precios de las opciones son monótonos con respecto al aumento en la volatilidad.

Sea $(X_t)_{t \geq 0}$ un martingala, $L>0$ y $0\leq t_1, t_2$, entonces tenemos $$E[(X_{t_{2}} - L)^{+}] \geq E[(X_{t_{1}}-L)^{+}]$$

para cualquier $i = 1,2$, sea $c_{i}$ opciones con precios de ejercicio $k_i$ y vencimientos $t_i$. Si asumimos que las dos opciones tienen la misma monetariedad ($k1/F_{t_{1}} =k2/F_{t_{2}} = \alpha^{k}$), entonces el proceso definido por $x_t = s_t/F_t$ para todo $t\geq 0$ es un martingala y

$$c_2/k_2 = \alpha^{-k} E[(X_{t_{2}} - \alpha^{k})^{+}] \geq \alpha^{-k} E[(X_{t_{1}} - \alpha^{k})^{+}] = c_1/k_1$$

por lo tanto, manteniendo constante la monetariedad, los precios de las opciones no decrecen con el tiempo de vencimiento. Entonces, para un $k$ fijo, la función $w(k,.)$ debe ser no decreciente.

Answer 3

Suponiendo que entendí correctamente tu pregunta: en ausencia de tasas, dividendos, etc., la fórmula de Black & Scholes para una llamada $C(K,T)$ es una función de $V(K,T) = \sigma(K,T)^2*T$, como puedes comprobar fácilmente (quiero decir que sigma y T solo afectan a BS a través de V). Se sigue que $\frac{dC}{dT} = \frac{dC}{dV} * \frac{dV}{dT}$ y $\frac{dC}{dV} > 0$ (como también puedes comprobar fácilmente), por lo tanto $\frac{dC}{dT} > 0$ (como se requiere para no arbitraje, ve por ejemplo el inicio de esta conferencia) es equivalente a $\frac{dV}{dT} > 0$.

Answer 4

Esta condición es incorrecta en presencia de dividendos y repo. La condición correcta en general es que la varianza debe aumentar monótonamente en la dirección de la línea forward.

Esto se desprende de este razonamiento: si la madurez es $T$ y el strike es $K$ y el spot en el tiempo $t$ es $S_t$ entonces suponiendo que tienes un dividendo $d$ en una fecha $T_d$ entonces $$S_{T_d}^+ = S_{T_d}^- -d$$

Desde entonces, puedes escribir la relación entre los payoffs de las llamadas que vencen en $T_d^+$ y $T_d^-$ como

$$\max(0,S_{T_d}^+ - K^+) = \max(0, S_{T_d}^- - K^-)$$

Siempre que

$$K_{T_d}^+ = K_{T_d}^- -d$$

Lo cual es la definición de la línea forward a través de un dividendo

Ahora que se establece la relación entre los payoffs terminales, implica que

$$\sigma(K^+,T+) = \sigma(K^-,T^-)$$

Lo cual es la relación de continuidad. Puedes derivar por ti mismo el impacto del repo por el mismo razonamiento.