¿Por qué se considera el arbitraje de spread de calendario equivalente a $\partial_t \omega(k,t) \geq 0, \forall k \in \Bbb{R}$ donde $\omega(k,t) = \sigma^2(k,t) t$ y $\sigma(k,t)$ representa la sonrisa de volatilidad implícita de Black-Scholes en $t$.
¿Cuál es la motivación detrás de esta definición? Gracias por tu ayuda de antemano :)
Encontrarás aquí que en términos de precios de opciones europeas, la ausencia de arbitraje de calendario se expresa como $$ \frac{\tilde{C}(k\, F(0,t_2),t_2)}{F(0,t_2)} \geq \frac{\tilde{C}(k \, F(0,t_1),t_1)}{F(0,t_1)}, \forall k \in \Bbb{R}, \forall \, 0 < t_1 < t_2 \tag{1} $$ donde $\tilde{C}(K,t)$ denota el precio de compra europeo no descontado para un precio de ejercicio $K$ y tiempo de vencimiento $t$ y $F(0,t)$ el precio a término subyacente para entrega en $t$ visto desde $0$.
Supongamos que te gustaría traducir esta desigualdad en términos de volatilidad implícita es decir, trabajando en un mundo de Black-Scholes. En ese entorno, es bien conocido que $$ \frac{\tilde{C}(k \, F(0,t),t)}{F(0,t)} =: \mathcal{C}(k,w) = N(d_+(k,w)) - k N(d_-(k,w)) $$ con $$ d_{\pm}(k,w) = -\frac{\ln(k)}{\sqrt{w}} \pm \frac{1}{2}\sqrt{w} $$ donde hemos tomado $w = w(k,t) = \sigma^2(k,t) t$.
Luego la desigualdad $(1)$ puede ser reescrita como $$ \mathcal{C}(k, w(k,t_2)) \geq \mathcal{C}(k, w(k,t_1)) \tag{2}, \, \forall k \in \Bbb{R}, \forall 0 < t_1 < t_2 $$ lo cual se verifica si y solo si $\forall k \in \Bbb{R}$ $$ \frac{\partial \mathcal{C}}{\partial t}(k,w(k,t)) \geq 0, \,\, \forall t\in \Bbb{R}^+ $$ Por lo que esto se traduce a $$ \frac{\partial \mathcal{C}}{\partial w}(k, w(k,t)) \frac{\partial w}{\partial t}(k,t) \geq 0 $$ donde el primer término es positivo (ver enlace con la vega de BS) por lo tanto la conclusión.
¿Y es correcto que pueda escribir el precio de la opción como $C(K,t2)=\mathbb{E}((S_{t_2}-K)^+)$ o necesito una expectativa condicional?
Hola @P.G. ese sería el precio de la llamada sin descontar de hecho. La expectativa está implícitamente condicionada a la información que tienes en $t=0$ es decir, la filtración $\mathcal{F}_0$.
Entonces, ¿está bien este: $C(K,t_2)=\mathbb{E}((S_{t_2}-K)^+ | \mathcal{F}_0) = $(con la propiedad de la torre) $ \mathbb{E}( \mathbb{E} (S_{t_2}-K)^+ | \mathcal{F}_1) | \mathcal{F}_0)$ (con Jensen) $\geq \mathbb{E} ( \mathbb{E} (S_{t_2}-K | \mathcal{F}_1)^+ | \mathcal{F}_0)$ (ya que $S_t$ es una martingala) = $\mathbb{E}(S_{t_1}-K)^+ | \mathbb{F}_0)=(S_{t_1}-K)^+$. Así que tengo $C(K,t_2)-(S_{t_1}-K)^+ \geq 0 \Rightarrow C(K,t_2)-(S_{t_1}-K)^+ +x>0$ con $x=C(K,t_1)-C(K,t_2)$ si $C(K,t_1)>C(K,t_2)$. Pero entonces hay una oportunidad de arbitraje, por lo que $C(K,t)$ tiene que ser una función no decreciente en $t$.
La explicación simple es que, en ausencia de arbitraje de spread de calendario, deberíamos observar precios de opciones monótonos con respecto a la madurez. Y los precios de las opciones son monótonos con respecto al aumento en la volatilidad.
Sea $(X_t)_{t \geq 0}$ un martingala, $L>0$ y $0\leq t_1, t_2$, entonces tenemos $$E[(X_{t_{2}} - L)^{+}] \geq E[(X_{t_{1}}-L)^{+}]$$
para cualquier $i = 1,2$, sea $c_{i}$ opciones con precios de ejercicio $k_i$ y vencimientos $t_i$. Si asumimos que las dos opciones tienen la misma monetariedad ($k1/F_{t_{1}} =k2/F_{t_{2}} = \alpha^{k} $), entonces el proceso definido por $x_t = s_t/F_t$ para todo $t\geq 0$ es un martingala y
$$ c_2/k_2 = \alpha^{-k} E[(X_{t_{2}} - \alpha^{k})^{+}] \geq \alpha^{-k} E[(X_{t_{1}} - \alpha^{k})^{+}] = c_1/k_1$$
por lo tanto, manteniendo constante la monetariedad, los precios de las opciones no decrecen con el tiempo de vencimiento. Entonces, para un $k$ fijo, la función $w(k,.)$ debe ser no decreciente.
Suponiendo que entendí correctamente tu pregunta: en ausencia de tasas, dividendos, etc., la fórmula de Black & Scholes para una llamada $C(K,T)$ es una función de $V(K,T) = \sigma(K,T)^2*T$, como puedes comprobar fácilmente (quiero decir que sigma y T solo afectan a BS a través de V). Se sigue que $ \frac{dC}{dT} = \frac{dC}{dV} * \frac{dV}{dT} $ y $\frac{dC}{dV} > 0 $ (como también puedes comprobar fácilmente), por lo tanto $\frac{dC}{dT} > 0$ (como se requiere para no arbitraje, ve por ejemplo el inicio de esta conferencia) es equivalente a $\frac{dV}{dT} > 0$.
Esta condición es incorrecta en presencia de dividendos y repo. La condición correcta en general es que la varianza debe aumentar monótonamente en la dirección de la línea forward.
Esto se desprende de este razonamiento: si la madurez es $T$ y el strike es $K$ y el spot en el tiempo $t$ es $S_t$ entonces suponiendo que tienes un dividendo $d$ en una fecha $T_d$ entonces $$S_{T_d}^+ = S_{T_d}^- -d$$
Desde entonces, puedes escribir la relación entre los payoffs de las llamadas que vencen en $T_d^+$ y $T_d^-$ como
$$\max(0,S_{T_d}^+ - K^+) = \max(0, S_{T_d}^- - K^-)$$
Siempre que
$$K_{T_d}^+ = K_{T_d}^- -d$$
Lo cual es la definición de la línea forward a través de un dividendo
Ahora que se establece la relación entre los payoffs terminales, implica que
$$\sigma(K^+,T+) = \sigma(K^-,T^-)$$
Lo cual es la relación de continuidad. Puedes derivar por ti mismo el impacto del repo por el mismo razonamiento.
FinanHelp es una comunidad para personas con conocimientos de economía y finanzas, o quiere aprender. Puedes hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
0 votos
¿Puedes definir términos?
0 votos
Lo siento, olvidé. $\omega (k, t)= \sigma(k, t)_{BS}^2t$, entonces $\omega(k, t)$ es la varianza implícita del modelo Black-Scholes multiplicada por $t$. Estoy tratando de entender la definición de arbitraje de spread de calendario de Gatheral. Y estoy preguntando si hay otro acceso. Estaba pensando que los precios de las opciones para un $k$ fijo son funciones crecientes. Pero no soy capaz de escribir la conexión.