Es más fácil hablar de estos conceptos si avanzamos un poco más allá de Knight. Ha habido mucha discusión desde entonces. La forma más fácil de empezar a hablar de esto es discutiendo las tres principales corrientes de pensamiento en probabilidad y estadística. Las escuelas son, en orden de descubrimiento, la Bayesiana, la Verosímil y la Frecuentista. Vamos a ignorar la escuela Verosímil de Fisher porque es de naturaleza epistemológica e implica un comportamiento lógico irracional.
En la escuela Bayesiana no hay tal cosa como el azar. No existe. Solo hay incertidumbre. Para dar un ejemplo, imagina que ves a alguien lanzar una moneda veinte veces y sale cara cada vez. Ahora, imagina que la misma persona la lanza C-S en una perfecta alternancia en diez parejas de veinte lanzamientos. La persona que lanza la moneda es el Asombroso Randi. Te permite inspeccionar la moneda y tienes un amigo físico que la prueba y es una moneda perfectamente justa.
Estás incierto si la moneda es la misma que se lanzó. Estás incierto si el Asombroso Randi tiene suficiente control para causar el patrón de lanzamientos. Incluso estás incierto si el Asombroso Randi tuvo control completo todo el tiempo o si algunos de los lanzamientos fueron realmente accidentes que salieron bien a pesar de una pérdida de control.
En los modelos Bayesianos solo hay ausencia de información. La probabilidad existe en la mente de la persona que toma decisiones. No es una propiedad física del universo. Esto es incluso cierto en la mecánica cuántica que usualmente se interpreta en términos de azar. El objetivo es usar datos para construir una distribución de "plausabilidades", usando la terminología de Cox.
En el marco Bayesiano, los datos son fijos y no aleatorios. No puede existir algo como una "muestra aleatoria". Carece de sentido. Por esta razón, la definición Bayesiana de una expectativa es $$E(\theta|X)=\int_{\theta\in\Theta}\theta{f(\theta|X)}\mathrm{d}\theta.$$
Si apostarías en una incertidumbre y existe una expectativa, no existe para distribuciones de colas pesadas, entonces integras sobre el conjunto de todos los posibles modelos del mundo.
En el mundo Frecuentista $\theta=k,k\in\Re$ y no hay incertidumbre en absoluto. En vez de usar la palabra "riesgo" en este punto, hablaré de azar ya que la palabra riesgo tiene un significado adicional desde Knight. Los eventos solo pueden ocurrir debido al azar y cuando se usan en el cálculo de variaciones, entonces todos los parámetros son tratados como perfectamente conocidos. El azar es una propiedad física del universo.
Mecánicamente, esto no es diferente a tratar la hipótesis nula como estrictamente verdadera. En la escuela Frecuentista no existe tal cosa como un valor p. Eso es solo parte de la escuela Verosímil. En la escuela Frecuentista hay un valor, $\alpha$, que crea una región de aceptación y una de rechazo. Si una muestra implica que la nula no puede ser rechazada, entonces se trata COMO si fuera verdadera. La escuela Frecuentista es conductual. No sabes si es verdadero, pero el comportamiento racional es actuar como si lo fuera. Si está en la región de rechazo, entonces debes comportarte COMO si fuese falso y como si el estimador insesgado de mínima varianza fuese el valor real.
En el ejemplo, para la primera prueba de una nula de $\theta=.5$, la nula sería rechazada. En la segunda muestra, a pesar del patrón extraño y las observaciones previas, se aceptaría como verdadera. Las muestras no pueden ser combinadas debido a los axiomas. Esto crea una respuesta irracional donde en un momento te comportas como si fuese falso y en el siguiente como si fuese verdadero.
La financiación ha casi eliminado por completo el significado Bayesiano y ha adoptado casi por completo el significado no-Bayesiano. Rara vez se ve una discusión seria sobre incertidumbre en finanzas porque todos los modelos de finanzas de media-varianza son modelos Frecuentistas. Dependen estrictamente de los axiomas Frecuentistas.
La definición Frecuentista de una expectativa, donde existe, es $$E(X)=\int_{x\in\chi}xf(x|\theta)\mathrm{d}x.$$ Los modelos Frecuentistas viven en el espacio de la muestra, que es aleatorio.
Riesgo, en el sentido Bayesiano es la cantidad de recursos expuestos a la incertidumbre. Riesgo en el sentido Frecuentista es la cantidad de recursos expuestos al azar. Ambas definiciones podrían tener la frase "de pérdida" agregada al final.
Este enfoque en los métodos Frecuentistas es problemático porque bloquea un buen modelaje. Cualquier función de los datos es una estadística. Por lo tanto $\sum\sin(x_i)$ es una estadística. Intuitivamente sabes que es una estadística inútil, pero ¿cómo lo muestras matemáticamente? Resulta que el problema se resolvió con lo que se conoce como el teorema de la clase completa.
Cualquier solución dentro del conjunto aceptable es válida y cualquier solución fuera del conjunto es inválida. La suma de los senos es un estimador inválido de la media de la muestra de la distribución normal. Puedes saber esto porque está fuera de la clase completa de soluciones.
Todas las soluciones Bayesianas están dentro de la clase completa de soluciones válidas. Las soluciones Frecuentistas son válidas en la medida en que se ajusten a una solución Bayesiana para una muestra específica, o en el límite. Esto es problemático porque recientemente se probó que no existe una solución Frecuentista para las acciones. Es la razón por la que el CAPM nunca ha sido validado y las colas pesadas existen en las pruebas. Las soluciones Frecuentistas siempre están fuera de la clase completa de soluciones. Son válidas para apuestas al estilo de Las Vegas y para bonos corporativos con cupones fijos, pero no para acciones.
Recomendaría leer "Probability, the Language of Science," de E.T. Jaynes y "Decision Theory: Principles and Approaches," de Parmigiani. Modelos como el CAPM no pueden funcionar en un marco Bayesiano, aunque está lejos de ser obvio, lo cual significa que no pueden funcionar. Es lamentable que la incertidumbre de Knight haya quedado fuera de la discusión para modelos elegantes.
Puedes encontrar artículos sobre acciones e incertidumbre en https://ssrn.com/abstract=2828744 y https://ssrn.com/abstract=2656681
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Nick, te aconsejaría que no te adentres demasiado en los detalles sobre esto. Ten en cuenta que la definición de riesgo del trader está relacionada con las llamadas de margen, y aproximadamente cero progreso se ha logrado a través de sutilezas académicas desde Frank Knight hasta Russell, Savage, Wiener, el Círculo de Viena,... Créeme, esta no es una pregunta productiva.