Diferentes de riesgo de la cartera de descomposición responder a diferentes preguntas. Antes de discutir acerca de qué método usar, primero pregunte por qué quieres una descomposición y lo que la definición de riesgo que están utilizando.
Es el punto a examinar cómo cartera de retorno de la volatilidad se ve afectada por un pequeño cambio en cartera de pesos? Por otro lado, si el punto es hacer una declaración como, "el 30% de nuestra riesgo que viene de China," que es bastante problemático porque el riesgo no es aditivo.
Rápido definiciones para conseguir en la misma página
Deje que $\mathbf{R}$ ser un vector de variables aleatorias que denota el exceso de rentabilidad (es decir, en exceso de la tasa libre de riesgo), y dejar que $\mathbf{w}$ ser un vector que denota pesos en una cartera. (Pesos que no suma de a 1, debido a que tenemos exceso de devolución: 1 - $\sum w_i$ es, implícitamente, el peso sobre la tasa libre de riesgo.)
$$ R_p = \mathbf{w}' \mathbf{R} = \sum_i w_i R_i$$
Deje que $\Sigma = \operatorname{Cov}(\mathbf{R})$ ser la matriz de covarianza para el vector de retornos. La desviación estándar de la rentabilidad de la cartera como una función de la cartera de pesos está dada por $ \sigma(R_p)(\mathbf{w}) = \sqrt{ \mathbf{w}' \Sigma \mathbf{w} }$.
Medida 1: $\frac{\partial \sigma}{\partial \mathbf{w}}$
Un estándar de descomposición es simplemente mirar a los marginales aportaciones a la cartera de la desviación estándar:
$$\frac{\partial \sigma}{\partial \mathbf{w}} = \frac{1}{\sigma}\Sigma\mathbf{w}$$
Medida 2: $\mathbf{w} \circ \frac{\partial \sigma}{\partial \mathbf{w}} $
Por Euler homogénea teorema de la función tenemos:
$$\sum_i w_i \frac{\partial \sigma}{\partial w_i} = \sigma(\mathbf{w})$$
Esto es todavía marginal medida. (por ejemplo, para ver esto, examinar cómo esta se ve si una cartera tiene dos activos que son casi perfecta de las coberturas para cada uno de los otros.)
Observar también que $\frac{\partial \sigma}{\parcial \log w_i} = w_i \frac{\partial \sigma}{\partial w_i}$, por lo tanto $w_i \frac{\partial \sigma}{\partial w_i}$ le dice lo mucho que la desviación estándar de los cambios para un pequeño porcentaje de cambio en su cartera. Por ejemplo. Si aumento de un peso de 1 por ciento a partir de .02 a .0202, ¿qué ocurre con la desviación estándar de la rentabilidad de la cartera?
Igual que el anterior pero el uso de pesas en los factores de cambio de pesos en valores
Vamos a $f_1, \ldots, f_k$ ser cero costo de la rentabilidad de la cartera (aka factores). Deje que $\Sigma^{(f)}$ ser la matriz de covarianza. Podemos hacer el mismo tipo de matemáticas como de arriba de donde $\beta$s indican los pesos de los factores en lugar de pesos en valores individuales. También tenemos la varianza de un $\epsilon$ plazo ortogonal de los factores.
$$ R_p = \beta_1 F_1 + \beta_2 F_2 + \ldots \beta_k F_k + \epsilon $$
$$ \mathbb{V}(R_p) = \mathbb{V}(\epsilon) + \sum_{ij} \beta_i \beta_j \mathbb{Cov}(F_i, F_j)$$
Ortogonal de factores: lo mismo que el anterior, pero si los factores son ortogonales (es decir, no correlacionados)
Debido a que el exceso devuelve $R_i$ y $R_j$ son casi ciertamente correlacionados, la varianza de la rentabilidad de la cartera no es simplemente la suma de las varianzas.
$$\mathbb{V}(R_p) = \mathbf{w}' \Sigma \mathbf{w} = \sum_{ij} w_i w_j \Sigma_{ij}$$
Con $n$ de valores, usted tiene $n$ varianza términos $n(n-1)$ $\Sigma_{i\neq j}$ términos de covarianza. Por otro lado, si usted tiene pesos en ortogonal de variables aleatorias, a continuación, obtener una Pythogorean teorema del tipo de resultado y la varianza de la suma es la suma de las varianzas. Esta descomposición es mucho más limpio debido a que todos los términos de covarianza es cero.
$$ \mathbb{V}(R_p) = \mathbb{V}(\epsilon) + \sum_{i} \beta_i^2 \mathbb{V}(F_i)$$
Con ortogonal de los factores, usted puede escribir el portafolio de varianza simplemente como la suma de la varianza de la derivada de cada factor individual (porque en un sentido, no existen estadísticas de las interacciones entre los factores).
(Nota: carteras deben ser construidos especialmente para tener ortogonal devuelve)
Un promedio de más de órdenes de métodos
Como se señaló anteriormente, si usted tiene $n$ valores, usted no consigue una limpieza, la descomposición lineal en $n$ los componentes porque de todos los términos de covarianza: usted tiene una suma de más de $\frac{n(n-1)}{2}$ términos de covarianza.
Otra cosa es llegar a una cierta noción de la importancia mirando marginal de la varianza (a partir de la adición de la posición) de media sobre los diferentes ordenamientos. Por ejemplo. en los dos caso de vuelta, mira en:
- Agregar seguridad 1 primero. $\mathbb{V}(w_1 R_1) = w_1^2 \Sigma_{11}$ y
- Agregar de seguridad de 1 segundo. $\mathbb{V}(w_1 R_1 + w_2 R_2) - \mathbb{V}(w_2 R_2) = w_1^2
\Sigma_{11} + 2 w_1 w_2 \Sigma_{12}$
A continuación, el promedio de estos dos órdenes juntos para conseguir:
$$ w_1^2 \Sigma_{11} + w_1 w_2 \Sigma_{12}$$
Esta medida probablemente tiene algunas propiedades, pero es un poco abstracto en un sentido.
Una advertencia
Algo a tener en cuenta es que la falta de sofisticación de los tipos puede querer decir algo así como el 20% de nuestro riesgo es la exposición a China, el 80% proviene de América del Norte. Pero a menos que cada región es estadísticamente independientes (que seguramente no), esta declaración, nunca se puede hacer un gran sentido. Las posiciones interactuar! Usted tiene la covarianza plazo entre China y América del Norte.
De todos modos, creo que una primera cuestión que hay que hacer y la respuesta es ¿por qué estoy tratando de descomponer el riesgo? Cuál es la pregunta que estoy tratando de responder?
