Dado un mercado de opciones vainilla, es decir $C(S,K,t, T)$ para todas las huelgas $K$ ¿es posible replicar $C^2 (S,K,t,T)$ ? Así que estoy buscando una cartera de autofinanciación que tenga un precio igual a $C^2(S,K,t,T)$ para una huelga fija $K$ y para todos $t$ .
Gracias.
Supongo que su comercio $V(S,K,t,T)$ es europeo. Su recompensa es: $$\begin{align} V(S,K,T,T)&=C^2(S,K,T,T) \\[3pt] &=\max(S_T-K,0)^2 \\[3pt] &=\boldsymbol{1}_{\{S_T\geq K\}}(S_T-K)^2 \\[3pt] &=\boldsymbol{1}_{\{S_T\geq K\}}f(S_T) \end{align}$$ donde $f(x)=(x-K)^2$ . Por La fórmula de replicación estática de Carr-Madan (ver esta pregunta o este documento ), tenemos (1) : $$\begin{align} f(S_T)&=f(K)+f'(K)(S_T-K)+\int_0^{K}f''(k)(k-S_T)^+\text{d}k+\int_{K}^{\infty}f''(k)(S_T-k)^+\text{d}k \\[3pt] &=2\int_0^{K}(k-S_T)^+\text{d}k+2\int_{K}^{\infty}(S_T-k)^+\text{d}k \end{align}$$ donde $(x)^+=\max(x,0)$ . Multiplicando por $\boldsymbol{1}_{\{S_T\geq K\}}$ : $$\boldsymbol{1}_{\{S_T\geq K\}}f(S_T)=2\int_{K}^{\infty}(S_T-k)^+\text{d}k$$ Multiplicando por el factor de descuento $D(t,T)$ y tomando la expectativa condicional bajo la medida neutral de riesgo $Q$ , obtenemos la siguiente estrategia teórica de réplica: $$V(S,K,t,T)=2\int_{K}^{\infty}C(S,k,t,T)\text{d}k$$ Dado que en la práctica no se dispone de un continuo de opciones de compra, se realiza la siguiente aproximación: $$V(S,K,t,T)\approx2\sum_{i=0}^nC(S,k_i,t,T)\delta_i$$ donde $\{k_i:i=0,\dots,n\}$ son las huelgas citadas con $k_0=K$ y $\delta_i=k_{i+1}-k_i$ .
(1) Hemos elegido como valor umbral la huelga <span class="math-container">$K$</span> .
Gracias, pero probablemente no he formulado mi pregunta con la claridad que debería. Lo que busco es la cartera de réplicas para $\left( E_t \left[ (S_T-K)_+ \right] \right)^2$ . Lo que has dado es un límite superior, es decir $ E_t \left[ (S_T - K)^2_+ \right]$ . En la madurez, por supuesto, serán los mismos. Puede que yo mismo haya encontrado la respuesta, pero todavía estoy comprobando algunas cosas antes de atreverme a publicarla. Mientras tanto, por supuesto, si usted o cualquier otra persona tiene la solución sería genial saber.
@ilovevolatility ¿Cuál es el pago de su comercio? Por tu descripción parece que el único flujo de caja es $\max(S_T-K,0)^2$ al vencimiento, tal y como usted indica en su comentario, sin pago intermedio y por tanto sin arbitraje, el precio de su "opción cuadrada" debe ser el mismo que el precio del crédito que describo y de ahí la estrategia de cobertura. ¿Puede ser más específico en cuanto a la estructura de su operación?
Es cierto que ambos tienen el mismo valor al vencimiento, pero siguen siendo diferentes. Tomemos por ejemplo el caso especial $K=0$ , entonces la diferencia $E_t[ S_T^2] - (E_t[S_T])^2$ está relacionado con la volatilidad de $S$ .
Hay no terminal $\mathcal{F}_T$ remuneración mesurable $g$ tal que $e^{-r(T-t)} E_t[g] = C(S_t, t, T, K)^2$ simplemente porque $E_t[g]$ debe ser una martingala y $e^{r(T-t)} C(S_t, t, T, K)^2$ no lo es.
Así que cualquier acuerdo que tenga npv $C(S_t, t, T, K)^2$ debe implicar un flujo de pagos intermedios $ h(S_t,t) dt$ , que se puede resolver enchufando $V(S,t) = C(S, t, T, K)^2$ en la BS PDE $$ \frac{\partial V}{\partial t} + r S \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} -rV + h(S,t) = 0 $$ para obtener $$ h(S,t) = -\left(\frac{\partial V}{\partial t} + r S \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} - rV\right) $$ junto con el pago final $g(S) = \max(S-K,0)^2$
Ok, me preguntaba si no había un $-rV$ término que falta. Pero es el pago descontado $e^{-r(T-t)}E_t[g]$ que debe ser un pago, ¿por qué escribes $\color{blue}{e^{r(T-t)}}C(S_t,t,T,K)^2$ debe ser una martingala, y no $C(S_t,t,T,K)^2$ ?
Sí, he corregido algunas erratas, lo siento. $e^{-rt} C(S_t, t, T, K)^2$ o, por el contrario $e^{r(T-t)} C(S_t, t, T, K)^2$ debe ser una martingala si $C(S_t, t, T, K)^2$ es para representar el npv de un único pago terminal.
Bien. Sólo para añadir a la excelente respuesta, ten en cuenta que la expresión para $h(S,t)$ puede descomponerse en 1) las pérdidas y ganancias de cobertura (Black-Scholes) para una opción vainilla, 2) un coste de financiación $rV$ y 3) un tercer término $(\sigma S\Delta_t^{BS})^2$ . No estoy seguro de cómo interpretar/convertir este último término...
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