Pago esperado en el futuro

Question

Dejemos que $a$ , $b$ , $c$ y $e$ sean constantes, $W_1$ y $W_2$ sean movimientos brownianos con correlación $\rho$ y $f(t)$ y $g(t)$ sean funciones deterministas del tiempo. Sea $X$ satisfacer $$d(X(t))=(aX(t)+ef(t)g(t))dt+f(t)X(t)dW_1(t)+g(t)X(t)dW_2(t).$$ Calcule el valor esperado de $X(T)^2$ dado $X(t)$ para algunos $0\le t\le T$ .

Si $e=0$ podemos utilizar la regla de Ito para escribir $d(\log X)$ como una expresión independiente de $X$ . La integración da que $X(T)|X(t)$ es log-normal. Si $e\neq 0$ , $d(\log X)$ ya no es independiente de $X$ . No se me ocurre ninguna forma de evitar este problema.

Answer 1

Basado en las ideas de esta pregunta , dejemos que $$\begin{align*} M_t = e^{-at+\frac{1}{2}\int_0^t (f^2+g^2+2\rho fg)ds -\int_0^t(f dW_1(s)+gdW_2(s))}. \end{align*}$$ Entonces $$\begin{align*} dM_t = M_t\Big[\big(-a + f^2+g^2 + 2\rho fg \big)dt - f dW_1(t)- gdW_2(t)\Big]. \end{align*}$$ Además, $$\begin{align*} d(M_tX_t) &= M_t dX_t + X_t dM_t + d\langle M, X\rangle_t\\ &=e M_t f g dt. \end{align*}$$ Entonces, $$\begin{align*} X_T = \frac{M_t}{M_T}X_t + e\int_t^T\frac{M_s}{M_T} f(s)g(s)ds. \end{align*}$$ Ahora, deberías ser capaz de calcular la expectativa condicional.