forma cerrada para la integral estocástica

Question

Soy nuevo en el cálculo estocástico. ¿Puedo saber cómo calcular la solución de forma cerrada para $$\int_0^t \exp(\alpha s - \sigma W_s) \; ds$$ y $$\int_0^t \exp(\alpha s - \sigma W_s) \; dW_s.$$ Me encuentro con esto cuando intento resolver la siguiente SDE $$dX_t = \theta(\mu - X_t)\; dt + \sigma X_t \; dW_t$$

Answer 1

Otra solución

Debemos buscar una solución de la forma $$X(t)=U(t)V(t)$$ donde $$dU_t=-\theta\,U_tdt+\sigma\,U_t\,dW_t$$ y $$dV_t=\alpha(t)dt+\beta(t)dW_t$$ $U$ es un movimiento browniano geométrico, por lo que $$U(t)=U(0)\,e^{-(\theta+\frac{1}{2}\sigma^2)t+\sigma W_t}$$ dejar $U(0)=1$ Esto da como resultado $V(0)=X(0)$ . Ahora deberíamos encontrar $\alpha(t)$ y $\beta(t)$ . $$dX_t=U_tdV_t+V_tdU_t+d[U,V](t)$$ tenemos $$dX_t=(\alpha (t)U_t-\theta\,X_t+\sigma\beta(t)U_t)dt+(\beta(t)U_t+\sigma\,X_t)dW_t$$ así $\beta(t)=0$ y $\alpha(t)U_t=\mu\,\theta$ Como resultado $$dV_t=\frac{\mu\theta}{U_t}dt$$ en otras palabras $$V_t=V_0+\mu\theta\int_{0}^{t}\frac{1}{U_s}ds$$ finalmente $$X_t=U_tV_t=e^{-(\theta+\frac{1}{2}\sigma^2)t+\sigma W_t}\left(X(0)+\mu\theta\int_{0}^{t}e^{(\theta+\frac{1}{2}\sigma^2)s-\sigma W_s}\right)$$ $$X_t=e^{-(\theta+\frac{1}{2}\sigma^2)t+\sigma W_t}+\mu\theta\int_{0}^{t}e^{-(\theta+\frac{1}{2}\sigma^2)(t-s)+\sigma (W_t-W_s)}ds$$

Answer 2

Para resolver esta ecuación, dejemos que \begin {align*} M_t = e^{( \theta + \frac {1}{2} \sigma ^2 ) t - \sigma W_t}. \end {align*} Entonces \begin {align*} dM_t = M_t \Big [ \big ( \theta + \sigma ^2 \big ) dt - \sigma dW_t \Big ]. \end {align*} Además, \begin {align*} d(M_t X_t) &= M_t dX_t + X_t dM_t + d \langle M, X \rangle_t\\ &= \theta\ , \mu\ M_t dt. \end {align*} Entonces, \begin {align*} M_t X_t &= X_0 + \theta\ , \mu\ , \int_0 ^t M_s ds. \end {align*} Es decir, \begin {align*} X_t &= X_0 e^{-( \theta + \frac {1}{2} \sigma ^2 ) t + \sigma W_t} + \theta\ , \mu\ ,e^{-( \theta + \frac {1}{2} \sigma ^2 ) t + \sigma W_t} \int_0 ^t e^{( \theta + \frac {1}{2} \sigma ^2 ) s - \sigma W_s} ds \\ &=X_0 e^{-( \theta + \frac {1}{2} \sigma ^2 ) t + \sigma W_t} + \theta\ , \mu\ , \int_0 ^t e^{-( \theta + \frac {1}{2} \sigma ^2 ) (t-s) + \sigma (W_t - W_s)} ds. \end {align*}