¿Es este un método alternativo viable de fijación de precios de las opciones?

Question

Actualmente soy un estudiante de bachillerato que no ha pasado de Álgebra II, por lo que mis conocimientos de Cálculo son mínimos. Conozco lo básico de Integración y Derivación (soltar el coeficiente, elevar al coeficiente), series infinitas, y algunos fundamentos de paseos aleatorios (ej. t^0.5 = sigma).

No soy capaz de resolver la ecuación de Black Scholes debido a su uso de SDEs. Sin embargo, estoy familiarizado con la teoría de la probabilidad y he intentado aproximar la FCD de una distribución gaussiana utilizando un método de Monte Carlo. Introduje la desviación estándar y el precio de ejercicio como (ejercicio/sigma) y luego lo multipliqué por el pago en porcentaje y añadí el tipo libre de riesgo (Tesoro a 10 años) por los días hasta el vencimiento dividido por 365 (365 días en un año, por supuesto). Esto me dio un valor casi igual al precio en el mercado abierto. Supongo que la inexactitud se debe a la pérdida de precisión al recuperar valores como el tipo libre de riesgo o el precio del activo.

Lo que quiero saber es si este método de fijación de precios de las opciones es viable o si el cálculo semi-acertado se debió al azar. Básicamente busco una revisión por pares ya que no conozco a nadie que trabaje en finanzas que pueda verificar si metí la pata o no.

Mi método propuesto:

1. una función que genera un número aleatorio utilizando la distribución gaussiana y si el número es mayor que el precio de ejercicio añade 0,0001 a una variable de incremento, en caso contrario no añade nada. Repite 10k veces y esto aproxima la probabilidad de acertar el strike donde cada número aleatorio es un punto base de importancia.
2. Multiplique esta probabilidad por el pago para encontrar el precio en el que el rendimiento esperado de la opción es cero.
3. Añada el interés acumulado por la tasa libre de riesgo durante el periodo de tiempo en que la opción está abierta, porque por alguna razón esto se incluye en cosas como el Ratio de Sharpe y el Modelo de Black Scholes.
4. Ese valor es el precio de la opción calculado por este método que parece ajustarse al precio de las opciones que cotizan en bolsa.

Answer 1

Usted está tratando de fijar el precio de una opción mediante simulaciones de Monte Carlo. Así es como debería funcionar, asumiendo el marco de difusión de Black-Scholes.

Según las hipótesis del modelo Black-Scholes, el valor de un activo de riesgo $S$ en el momento $t=T$ es una variable aleatoria que dice $$ S_T = S_0 e^{\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)T + \sigma \sqrt{T} Z}\tag{1}$$ con

• $S_0$ El valor inicial del activo en $t=0$
• $\mu$ La deriva neutra del riesgo del activo $\color{red}{(*)}$
• $\sigma$ , la volatilidad del activo
• $Z$ una variable aleatoria gaussiana estándar, $Z \sim N(0,1)$

Porque el logaritmo de $S_T$ se distribuye normalmente \begin{align} \ln(S_T) &= \ln(S_0) + \left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)T + \sigma\sqrt{T}Z \\ &\sim N\left(\ln(S_0) + \left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)T, \sigma^2 T\right) \end{align} $S_T$ sigue lo que llamamos un log-normal distribución. $\color{red}{(**)}$

Ahora, asumiendo que se puede escribir el precio de una opción como la expectativa descontada de su pago futuro $\phi(S_T) = \max(S_T-K,0)$ (hay mucha teoría escondida detrás de esa afirmación) donde hemos utilizado $K$ para denotar el precio de ejercicio de la opción, es decir

$$ V_0 = e^{-rT} \mathbb{E} \left[ \phi(S_T) \right] = \mathbb{E} \left[ \max(S_T-K,0) \right] $$

entonces se puede utilizar un método de Monte Carlo para calcular la expectativa en el RHS. Para ello, basta con

1. Simular extracciones independientes de la variable aleatoria $S_T$ (representando diferentes escenarios de valores terminales de los activos). Esto debería ser fácil, ya que acabamos de ver que sólo hay que simular extracciones independientes de una gaussiana estándar $Z$ y utilizar la fórmula $(1)$ dado arriba.
2. Calcule el pago asociado $\phi(S_T) = \max(S_T-K,0)$ para cada sorteo
3. Promediar todos los valores de pago muestreados para obtener su expectativa.
4. Por último, aplique el factor de descuento $e^{-rT}$ para obtener el precio de la opción deseado

Matemáticamente, el estimador de Monte Carlo $\hat{V}_0$ del verdadero precio de la opción $V_0$ viene dada, por tanto, por \begin{align} \textbf{[STEP 1] }&\ \ \ S_T^{(m)} = S_0 \exp\left( (r-\frac{1}{2}\sigma^2)T + \sigma \sqrt{T} Z^{(m)} \right),\ \ \forall m=1,...,M \\ \textbf{[STEPS 2-3-4] }&\ \ \ \hat{V}_0 = e^{-rT} \left( \frac{1}{M} \sum_{m=1}^M \phi\left(S_T^{(m)}\right) \right) \end{align}

con $(Z^{(m)})_{m=1,...,M}$ representando a $M$ muestras i.i.d. de una distribución normal estándar y $M$ el número total de simulaciones.

$\hat{V}_0$ es un estimador insesgado de la verdadera prima $V_0$ cuya varianza disminuye proporcionalmente a $M^{-1/2}$ (que es una consecuencia directa del Teorema Central del Límite, de nuevo hay algo de teoría detrás de ese resultado).

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$\color{red}{(*)}$ $\mu = r_{FOR}-r_{DOM}$ para un $DOM/FOR$ tipo de cambio y el tipo "libre de riesgo" debe ser sustituido por $r = r_{FOR}$

$\color{red}{(**)}$ Se podría utilizar un modelo gaussiano como el que sugieres (modelo de Bachelier) en el que $S_T = \mu + \sigma_N \sqrt{T} Z \sim N(\mu, \sigma_N^2T)$ Esto no cambia el resto de la discusión. Tenga en cuenta que $\sigma_N$ se conoce como la volatilidad normal (o de Bachelier), mientras que la $\sigma = \sigma_{LN}$ que hemos utilizado anteriormente se conoce como volatilidad LogNormal (o Black-Scholes).