He mirado en muchos libros en mi biblioteca académica, y muy a menudo se va de esta manera:
- El movimiento browniano
- Entonces, el estocástico (integración de la fórmula de Itô, etc.)
- Aplicación: fórmula Black-Scholes para el precio de una opción call
Sin embargo, he visto una prueba de que no requiere estocástico integración en todos, que es como sigue:
Vamos $Y(t) = Y(0) e^{X(t)}$ es el precio de un activo, como un movimiento browniano geométrico, es decir, $X(t) = \mu t + \sigma B(t)$ donde $B$ es un estándar browniano. También suponemos que $\mu + \sigma^2 / 2 = 0$, de modo que la tendencia es neutral.
Ahora el precio de una opción call Europea (madurez $t=T$, precio de ejercicio $Y(0) A$) es:
$$C = E\big( (Y(T)-Y(0) A)^+ \big) = Y(0) \cdot E\big( (e^{X(T)}-A)^+ \big).$$
Pero desde $X(T)$ derecho $\mathcal{N}(\mu T, \sigma^2 T)$ (browniano), es fácil ver que
$$E\big( (e^{X(T)}-A)^+ \big) = \int_{\ln A}^\infty (e^x-A)\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2 T}} e^{-\frac{(x-\mu T)^2}{2 \sigma^2 T} } d x$$
y, a continuación, (es sólo de integración estándar), obtenemos:
$$C = Y(0) (\Phi(\sigma \sqrt{T} - \alpha_T) - A \Phi(-\alpha_T))$$ con $\alpha_T := \ln(A)/(\sigma\sqrt T)+\sigma\sqrt T/2$ y $\Phi(x) = (1/\sqrt{2 \pi}) \int_{-\infty}^x e^{-t^2/2} d t$
Esto demuestra la fórmula Black-Scholes para una opción de compra, sin necesidad de ningún estocástico de integración / Itô.
Pregunta:
¿Por qué todos los libros de texto de uso estocástico de integración para probar esto, cuando parece que no lo necesita?
