Estimación de la volatilidad at-the-money cuando la opción at-the-money está ausente del mercado

Question

Estoy tratando de estimar la volatilidad intradía de la ATM en un mercado donde los precios de ejercicio son relativamente escasos, por lo que la opción ATM puede no existir (digamos que el ejercicio más cercano está a un 2% de distancia del precio spot). Una forma bruta de hacer esto es ajustar un modelo de volatilidad, como SABR o Heston, y calcular la volatilidad ATM usando ese modelo.Me pregunto si hay algún otro método sin ajustar el modelo. Esto es lo que he intentado: Supongamos que ya hemos ajustado un modelo SABR con datos al final del día y hemos obtenido el parámetro SABR $\alpha, \beta, \rho, \nu$ . Si la huelga $K$ no está muy lejos del precio a futuro $f$ podemos aproximar la volatilidad SABR utilizando $$\sigma(K, f) = \frac{\alpha}{f^{1-\beta}}\{1 - \frac{1}{2}(1 - \beta - \rho\lambda)\ln(\frac{K}{f}) + \frac{1}{12}[(1-\beta)^2 + (2-3\rho^2)\lambda^2]\ln(\frac{K}{f})^2\}$$ donde $\lambda = \frac{\nu}{\alpha}f^{1-\beta}$ . Con esta aproximación $\sigma_{ATM} = \frac{\alpha}{f^{1-\beta}}$ Por lo tanto $\lambda = \frac{\nu}{\sigma_{ATM}}$ . Podemos entonces reescribir la ecuación anterior como $$\sigma(K,f) = \sigma_{ATM}\{1 - \frac{1}{2}(1 - \beta - \frac{\rho\nu}{\sigma_{ATM}})\ln(\frac{K}{f}) + \frac{1}{12}[(1-\beta)^2 + (2-3\rho^2)\frac{\rho^2\nu^2}{\sigma_{ATM}^2}]\ln(\frac{K}{f})^2\}$$ Podemos observar directamente $\sigma(K, f)$ del mercado. Si podemos suponer $\beta, \rho, \nu$ son constantes a lo largo del día (¿o sí?), podemos resolver para $\sigma_{ATM}$ .

Sin embargo, no estoy muy satisfecho con el resultado anterior ya que tiene muchas aproximaciones y suposiciones. Me pregunto si hay algo que pueda hacer para mejorar mi resultado o hay un método mejor para hacerlo.

Answer 1

Si tiene unas cuantas comillas de opciones, preferiblemente unas cuantas en torno a ATM, y unas cuantas en las alas de call y put, entonces podría intentar utilizar SVI para el suavizado de la sonrisa de IV (y por tanto obtener un valor para el IV de ATM). La calibración del IVS también es relativamente rápida, por lo que no es necesario utilizar parámetros obsoletos, sino que se pueden actualizar los parámetros durante el día con las comillas disponibles.

Sin embargo, el IVS no siempre está libre de arbitraje, aunque creo que ahora hay mejoras en el IVS que garantizan un alisamiento libre de arbitraje.

Answer 2

Utilizar un spline cúbico o, peor aún, el IVS es una exageración para encontrar la volatilidad at-the-money (ATM) cuando no está cotizada por el mercado: ambos enfoques son globales en el sentido de que un pequeño cambio de una de las comillas lejos del dinero tendrá un impacto no tan pequeño en la volatilidad implícita at-the-money. Sí, una solución es truncar el rango de los strikes de las opciones consideradas, pero ¿por qué utilizar algoritmos tan complejos cuando una simple parábola es suficiente? He aquí un extracto de la sección 4.3 de Calibración explícita de SABR mediante expansiones simples por Le Floc'h y Kennedy:

Lo más sencillo es ajustar una parábola a los tres puntos más cercanos alrededor del delantero con coordenadas $(z_{-1}, \hat{\sigma}_{-1}), (z_0,\hat{\sigma}_0), (z_{1},\hat{\sigma}_1)$ . Esto equivale a una diferencia finita de 3 puntos en una malla no uniforme. Entonces tenemos: \begin{align} \sigma_0 &= z_0 z_1 w_{-1} \hat{\sigma}_{-1} + z_{-1} z_1 w_{0} \hat{\sigma}_{0} + z_{-1} z_0w_{1} \hat{\sigma}_{1}\\ \sigma_0' &= -(z_0 + z_1) w_{-1} \hat{\sigma}_{-1} - (z_{-1}+ z_1) w_{0} \hat{\sigma}_{0} - (z_{-1}+ z_0)w_{1} \hat{\sigma}_{1}\\ \sigma_0'' &= 2 w_{-1} \hat{\sigma}_{-1} +2 w_{0} \hat{\sigma}_{0} + 2w_{1} \hat{\sigma}_{1} \end{align} con \begin{align} w_{-1} &= \frac{1}{(z_{-1}-z_{0})(z_{-1}-z_{1})}\\ w_{0} &= \frac{1}{(z_{0}-z_{-1})(z_{0}-z_{1})}\\ w_{1} &= \frac{1}{(z_{1}-z_{-1})(z_{1}-z_{0})} \end{align}

El $\sigma_0$ es su vol. de cajero automático. El $z_i$ es el moneyness o log-moneyness para las tres opciones en torno al cajero automático consideradas. El documento también detalla los enfoques por mínimos cuadrados si se desea incluir más puntos alrededor de ATM. Por último, el tema se explora más a fondo en mi libro Finanzas cuantitativas aplicadas a los derivados de acciones (Capítulo 5 en general, y sección 5.4.2 para SABR)