Ejemplo de estrategia de cobertura dinámica

Question

Me encuentro con el siguiente problema. Sea el movimiento browniano estándar $W_t$ sea el proceso de precios de un activo negociado en una economía con tipo de interés cero. Defina $$A_T=\frac{1}{T}\int_0^T W_t^2 dt$$

Tengo dos preguntas:

• ¿Cuál es el precio justo en el momento $t=0$ de un contrato que ofrece $A_T$ ?
• ¿Cómo formamos una estrategia de cobertura dinámica que elimine todo riesgo de tener que entregar esta demanda?

Respondí a la parte 1 simplemente tomando la expectativa. El precio justo es $E(A_T\mid \mathcal{F}_0)=\frac{T}{2}$ . ¿Cómo puede organizarse la cobertura dinámica?

Answer 1

Considere una estrategia de cobertura dinámica en la que invierta $H_t$ en las existencias en el momento $t$ . Para eliminar todo riesgo, el valor de la inversión debe ser igual al crédito en el momento $T$ . Utilizando el cálculo de Ito, podríamos expresar $A_T$ como sigue:

$$A_T=\frac{T}{2}+\int_0^T 2W_t \left(1-\frac{t}{T}\right) dW_t=\frac{T}{2}+\int_0^T H_tdW_t$$

Así pues, la estrategia consistiría en empezar con una cantidad $T/2$ (precio justo a $t=0$ ) e invertir $H_t=2W_t(1-t/T)$ dinámicamente en la acción.

PS: Este es un caso especial de la configuración Black-Scholes donde el tipo de interés $r=0$ . Si $X_t$ es el valor de la explotación y $S_t$ es el precio de las acciones, el valor de $dX_t$ es $dX_t=H_tdS_t+(X_t-H_tS_t)rdt$ . $H_t$ es la cantidad que se invertirá dinámicamente en la acción, y también se conoce como delta de la opción.

Answer 2

Su fórmula del precio justo no es lo bastante general. Tienes que hacer que aparezca W(0) y luego diferenciarlo. Este será tu delta. Usted asumió W(0) = 0 y se deshizo de él, y ahora usted está atascado con nada para diferenciar wrt.