Replicar la estrategia en el modelo Black-Scholes

Question

Tengo un modelo Black-Scholes de dos activos para un mercado financiero:

$dB_t=B_t r dt$

$dS_t=S_t(\mu dt+\sigma dW_t)$

Introduzco una reclamación europea $\xi=max(K,S_T)$ con madurez $T$ para un número fijo de $K$ . He calculado cuál debería ser el precio sin arbitraje de este reclamo en cada momento $t<T$ calculando las expectativas bajo la medida martingala equivalente, que es una función de $S_t$ , $t$ y los parámetros fijos en el modelo. y ahora se me pide que encuentre una cartera replicante en el mercado original de 2 activos para esta demanda.

Sé que si $V(t,S)$ es una solución a la EDP de Black-Scholes sujeta a la condición terminal $V(T,S)=\max(K,S)$ entonces $V(t,St)$ es un tiempo de no arbitraje- $t$ precio para $\xi$ y que la estrategia de negociación dada al tomar como riqueza inicial $V(0,S_0)$ y el tiempo- $t$ participación en las acciones a ser $\frac{\partial V}{\partial S}$ es una estrategia de réplica para la demanda.

Si veo la función de precios que encontré originalmente (calculando las expectativas) como una función $\xi(t,St)$ ¿es necesariamente cierto que la riqueza inicial es $\xi(0,S_0)$ y que se tome el tiempo de mantener las acciones para ser $\frac{\partial \xi}{\partial S}$ ¿dará una cartera de réplicas? Debería serlo, simplemente por el hecho de que hay una única medida de martingala equivalente en este mercado, por lo que debe haber un único tiempo de no arbitraje - $t$ coste del siniestro en cada momento $t$ y así $\xi(t,S_t)$ debe resolver la EDP de Black-Scholes.

Mi pregunta es, ¿es posible demostrar que esta estrategia de negociación replica la demanda sin apelar al hecho de que la función de precios resuelve la EDP de Black-Scholes?

Answer 1

Este tipo de preguntas suelen requerir una cuidadosa atención a los detalles: si se trata de una pregunta de HW de algún tipo, consulte los apuntes de clase de Shreve, tiene toda una sección sobre este tema preciso en todo su esplendor. en cuanto a la intuición, ya que mantener $\frac{\partial \xi}{\partial S}$ en cualquier momento elimina el término dW, en el contexto de un modelo de período de tiempo discreto de la evolución de su riqueza y si cubre la derivada en cada estado admisible del mundo, cubriendo la aleatoriedad "browniana" a la que se expone en cada paso de tiempo (hay dos incógnitas en cada paso de tiempo, cuánto mantener de la acción y cuánto invertir en el mercado monetario, que dependen de la realización de la browniana), por inducción en $n$ donde n es el número de pasos de tiempo utilizados para discretizar el tiempo, el resultado es el siguiente