La condición se conoce principalmente como la condición No-Ponzi (-scheme) [NP]. Es una restricción adicional que evita esquemas Ponzi: Pagar deuda con nueva deuda más alta, ad infinitum.
Por cierto: La condición NP es una condición, por lo tanto el multiplicador asociado debería ser $\psi$ en lugar de $\psi_t$. Si bien ciertamente no se pierde nada repitiendo la misma condición una y otra vez (para cualquier $t$), no necesitamos más de una vez, y es impreciso.
Piensa en la optimización para $T$ periodos finitos. Entonces, tienes la condición de que $B_T \geq 0$. La optimización lagrangiana te da la optimización local entre $0, 1, 2$... Hay muchas soluciones que son óptimas localmente, pero solo permitirás soluciones que al final conduzcan a $B_T > 0$.
Un ejemplo simple
Tu ejemplo es mucho más complicado para pensar en estos temas fundamentales. Mira en cambio el problema
$$ \max_{\{c_t, a_{t+1}\}_t} \sum_t \beta^t U(c_t) + \lambda_t (a_{t+1} + c_t - Ra_t)$$
Es decir, un hogar que elige activos $a$ y consumo $c$ para maximizar su utilidad. Puedes resumir la FOC como
$$ \beta^t U'(c_t) = \lambda_t \\ \lambda_t = R\lambda_{t+1}\\ \Leftrightarrow U'(c_t) = \beta R U'(c_{t+1}) $$
Mira por un momento el caso especial donde $\beta R = 1$ (¿qué implica eso?). Con la mayoría de las preferencias, esto conduce necesariamente a $c_t = c_{t+1}$. Esta es la optimización local a la que me refería, que es lo que te da la Lagrangiana. Sin embargo, hay infinitas soluciones que satisfacen $c_t = c_{t+1}$. Luego, intentamos usar la restricción presupuestaria:
$$ a_{t+1} + c_t = R a_t\\ \Leftrightarrow R a_0 = \lim_{T\to\infty}\sum_{t=0}^T \frac{c_t}{R^t} + \frac{a_{T+1}}{R^T}$$
Esto es hasta donde llegamos usando el (infinito) conjunto de restricciones presupuestarias locales, donde he utilizado la iteración hacia adelante (con suerte correctamente), asumiendo cualquier fecha de inicio $t=0$.
Ahora, si el hogar también tiene que cumplir la condición NP, esto se reduce a
$$R a_0 = \lim_{T\to\infty}\sum_{t=0}^T \frac{c_t}{R^t}$$
lo cual, como mostramos que $c_t$ es constante, podemos resolver fácilmente y obtener una única restricción presupuestaria. La solución única al problema que satisface la condición NP es la solución donde $c_t$ es constante y se cumple esta última ecuación.
