Monopolio de precios en virtud de la constante de elasticidad de la demanda

Question

Mientras que la lectura de Ch. 24-Monopolio de Intermediate Microeconomics por Hal Varian (8 ^ª edición), en la pg. 441, él escribe que un monopolista nunca va a elegir para operar donde la curva de demanda es inelástica. Entiendo el argumento, pero, si tenemos la constante de elasticidad de la curva de demanda con

$|\epsilon| < 1 $

entonces, ¿cómo este efecto el monopolista de la elección?

Answer 1

Una constante de elasticidad de la función de demanda tiene la forma $q=p^{-\epsilon}$. Vamos a comprobar este hecho nos da una elasticidad constante... $$\frac{d q}{dp}=-\epsilon p^{-\epsilon-1}$$ así, como lo esperábamos, la elasticidad es constante: $$\frac{d q}{dp}\frac{p}{q}=-\epsilon p^{-\epsilon-1}\frac{p}{p^{-\epsilon}}=-\epsilon p^{-\epsilon-1+1+\epsilon}=-\epsilon p^{0}=-\epsilon.$$

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Ahora, supongamos que el monopolista tiene la constante de costo marginal $c\geqslant0$ (y no de los costes fijos). Es el beneficio es $$q(p-c)=p^{-\epsilon}(p-c).$$ El efecto sobre la firma de los beneficios de un pequeño incremento en su precio es de $$\frac{d}{d p}p^{-\epsilon}(p-c)=p^{-\epsilon -1} [c \epsilon -p\epsilon+p].$$ Ahora podemos responder a la pregunta: si $\epsilon<1$ entonces $c \epsilon -p\epsilon+p$ es definitivamente positivo por cada $p$. Eso significa que, no importa qué tan alto es el precio, la empresa todavía como para aumentar el precio más-el precio óptimo es de $+\infty$!

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Intuitivamente, la constante $\epsilon<1$ significa que la empresa siempre puede más que el doble de su precio anterior por menos de la mitad de sus ventas actuales. Siempre costo marginal no es muy rápidamente decreciente, esto siempre es una atractiva posibilidad para la empresa.

Answer 2

En este post puedes encontrar el algebraicas pasos que conducen a la (estándar) resultado mencioné en Varian del libro.

Ahora, supongamos que, en un mercado específico, de las preferencias del consumidor son tales que den lugar a una constante de elasticidad de la curva de demanda con elasticidad inferior a la unidad en términos absolutos, $|\eta| < 1$, por ejemplo

$$P^d = AP^{\eta}, -1 <\eta < 0$$ También, vamos a suponer que de históricos o institucionales razones de este mercado es un monopolio. Desde el post mencionado anteriormente tenemos que la maximización de las ganancias por el monopolista requiere que $$P^* = \frac {|\eta|}{|\eta|-1} MC \etiqueta{1}$$

donde

$$\eta = \frac {\partial Q }{ \partial P}\cdot \frac {P}{Q} \Rightarrow \frac {\partial Q }{ \partial P} = \eta \cdot \frac {Q}{P} \etiqueta{2}$$ y $MC$ es el costo marginal. Obviamente, este precio es negativo en nuestro caso, y tan sin sentido. No necesitamos ir a sofisticados restringida de la maximización de los procedimientos para ver lo que sucede aquí: la función de beneficios es $$\pi = P\cdot P(P) - C(Q(P)) \etiqueta{3}$$ y su derivada con respecto al precio es $$\frac {\partial \pi}{\partial P} = Q + P\frac {\partial Q }{ \partial P} - MC\cdot \frac {\partial Q }{ \partial P} \etiqueta{4}$$

Usando $(2)$ obtenemos

$$ \frac {\partial \pi}{\partial P}=Q + P\cdot \eta \cdot \frac {Q}{P} - MC\cdot \eta \cdot \frac {Q}{P} $$

$$\implica \frac {\partial \pi}{\partial P}= Q\cdot \left [1 + \eta - \eta \cdot \frac {MC}{P}\derecho]$$

$$\implica \frac {\partial \pi}{\partial P}= Q\cdot \left [1 - |\eta| + |\eta| \cdot \frac {MC}{P}\derecho] \etiqueta{5}$$

De $(5)$ vemos que

$$|\eta| < 1 \implica \frac {\partial \pi}{\partial P} > 0, \;\; \forall P >0 \etiqueta{6}$$

Así que un maximizar las ganancias monopolistas teóricamente tienen la tendencia a aumentar el precio de "infinity" con el envío de la cantidad suministrada a cero. Tenga en cuenta que los Ingresos de la función aquí es

$$R = P\cdot P^d = P\cdot AP^{\eta} = AP^{1-|\eta|}, \uparrow \text{en} \;P$$

mientras que los Costos están disminuyendo en $P^d$. Así que, de hecho, ganancias tienden a infinito por la venta de menos y menos por el precio cada vez más alto.

Lo que el mercado podría ser descrito por tales tendencias?