Medición del rendimiento ajustado al riesgo: Rendimientos logarítmicos vs. rendimientos simples y retorno medio geométrico vs. aritmético

Question

Acabo de simular 49 semanas de retornos correlacionados en 5 acciones diferentes, asumiendo que los retornos son distribuidos lognormalmente. A continuación, se supone que los 49 semanas simuladas de retornos representan el rendimiento real de las 5 acciones diferentes en las últimas 49 semanas, y así medir el rendimiento de cada acción utilizando medidas de rendimiento que considere adecuadas.

Mi primera pregunta se refiere a si debo usar (1) retornos simples o (2) log-retornos al evaluar el rendimiento de cada acción utilizando medidas de rendimiento basadas en la volatilidad (por ejemplo, índice de Sharpe), el riesgo extremo (por ejemplo, recompensa-a-VaR) y momentos parciales inferiores (por ejemplo, índice de Sortino)?

Además, dependiendo de la respuesta correcta a la primera pregunta, al calcular el retorno semanal promedio (es decir, el retorno medio) en cada acción, ¿debo calcular una media aritmética o geométrica del retorno simple/log-return?

Answer 1

En teoría, los precios de las acciones se distribuyen de forma logarítmica normal.

La gente suele demostrar la logaritmia refiriéndose a la positividad y asimetría hacia la derecha de los precios de las acciones. Matemáticamente (o filosóficamente si lo prefieres), la logaritmia sigue de la siguiente ecuación $\frac{S}{dS}={\mu}dt+{\sigma}dW$, la cual puedes ver mucho en finanzas cuantitativas ("caminata aleatoria") o en física ("movimiento browniano" o difusión). Si resuelves esta ecuación, verás que el precio $S$ es realmente lognormal.

Sin embargo, si no estás tratando con rendimientos de composición continua, especialmente con períodos más largos como semanas o años, es posible que no tengas la oportunidad de observar la composición exponencial continua. Tal proceso puede ser muy bien descrito (o aproximado si lo prefieres) por la composición geométrica.

Finalmente, volviendo a tu pregunta. Mi consejo para calcular medidas ajustadas al riesgo en tu caso sería: a menos que puedas demostrar, gráficamente o mediante pruebas estadísticas, que tus rendimientos semanales son lognormales, opta por el promedio geométrico de cambios porcentuales simples. Esto permitirá (1) la composición y (2) una mejor interpretabilidad. El promedio aritmético te dará resultados incorrectos cuando compuesto. La logaritmia será una complicación innecesaria en tu caso.

Answer 2

Las simulaciones se basan comúnmente en un movimiento browniano geométrico. Por lo tanto, en este caso, es apropiado utilizar el enfoque de rendimientos lognormales. Esto también te obliga a calcular una media geométrica.