Medición del rendimiento ajustado al riesgo: Devoluciones logarítmicas vs. devoluciones simples y devoluciones medias geométricas vs. aritméticas

Question

Acabo de simular 49 semanas de rendimientos correlacionados en 5 acciones diferentes, asumiendo que los rendimientos están distribuidos de manera logarítmica-normal. Luego, debo asumir que los 49 semanas simuladas de rendimientos representan el rendimiento real de las 5 acciones diferentes en las últimas 49 semanas, y así medir el rendimiento de cada acción usando medidas de rendimiento que considere apropiadas.

Mi primera pregunta es si debo usar (1) rendimientos simples o (2) logarítmicos al evaluar el rendimiento de cada acción utilizando medidas de rendimiento basadas en la volatilidad (por ejemplo, ratio de Sharpe), riesgo extremo (por ejemplo, reward-to-VaR) y momentos parciales inferiores (por ejemplo, ratio de Sortino)?

Además, dependiendo de la respuesta correcta a la primera pregunta, al calcular el rendimiento semanal promedio (es decir, rendimiento medio) de cada acción, ¿debo calcular una media aritmética o geométrica del rendimiento simple/logarítmico?

Answer 1

En teoría, los precios de las acciones siguen una distribución lognormal.

Por lo general, las personas demuestran la lognormalidad refiriéndose a la positividad y asimetría derecha de los precios de las acciones. Matemáticamente (o filosóficamente si así lo prefieres), la lognormalidad se sigue de la siguiente ecuación $\frac{S}{dS}={\mu}dt+{\sigma}dW$, que se puede ver mucho en finanzas cuantitativas ("paseo aleatorio") o en física ("movimiento browniano" o difusión). Si resuelves esta ecuación, verás que el precio $S$ es realmente lognormal.

Sin embargo, si no estás tratando con rendimientos de interés continuo, especialmente con periodos más largos como semanas o años, es posible que no tengas oportunidad de observar el interés compuesto exponencial continuo. Tal proceso se puede describir (o aproximar si así lo prefieres) muy bien mediante el interés compuesto geométrico.

Finalmente, volviendo a tu pregunta. Mi recomendación para calcular medidas ajustadas al riesgo en tu caso sería: a menos que puedas demostrar, gráficamente o mediante pruebas estadísticas, que tus rendimientos semanales son lognormales, utiliza el promedio geométrico de cambios porcentuales simples. Esto permitirá (1) el interés compuesto y (2) una mejor interpretabilidad. El promedio aritmético te dará resultados incorrectos al hacer interés compuesto. La lognormalidad será una complicación innecesaria en tu caso.

Answer 2

Las simulaciones suelen basarse en un movimiento browniano geométrico. Por lo tanto, en este caso, el enfoque de retornos lognormales es apropiado. Esto también te obliga a calcular una media geométrica.