Quiero verificar que el proceso de descuento en el precio de las acciones $ \mathrm {e}^{-r(T-t)}V(S_t,t)$ es una martingala en el modelo BS. Usando la fórmula de Ito y el BS-PDE obtengo que
$$ \mathrm {d} \mathrm {e}^{-r(T-t)}V(S_t,t)= \mathrm {e}^{-r(T-t)} \sigma S_t \frac { \partial V}{ \partial S}(S_t,t) \mathrm {d}W_t $$
La integral Ito es una martingala si
$$ \mathbb {E} \left [ \int_0 ^T \left (S_t \frac { \partial V}{ \partial S}(S_t,t) \right )^2 \right ]< \infty $$
Desafortunadamente, no puedo mostrar esto ya que no puedo aplicar a Jensen, Hölder o Cauchy-Schwartz para eliminar el cuadrado. ¿Cómo puedo evitar este problema? Una pregunta relacionada es si el delta de una opción arbitraria está delimitado en el modelo BS.
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Si le interesa el precio de las acciones con descuento, entonces $V \left( S_t, t \right) = S_t$ ..? En cuanto a su pregunta relacionada, véase quant.stackexchange.com/questions/30177 - el delta está limitado por la pendiente de la función de pago en el modelo B/S.
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¿Está interesado en el descuento opción precio, $V(S_t, t)$ o el descuento stock precio, $S_t$ ? Observe la diferencia...
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Puede consultar el punto técnico en mi respuesta donde utilizo la fórmula Black-Scholes y el hecho de que delta es una probabilidad.