Teorema de Girsanov, Derivada de Radon-Nikodym hacia atrás

Question

Dado un espacio de probabilidad filtrado $(\Omega,\mathcal{F},{\mathcal{F}}_t,\mathbb{P})$ y un movimiento browniano estándar $W_t$ .

Normalmente, en el Teorema de Girsanov, utilizamos la martingala exponencial $Z_t=\exp(-\int_0^tH_sdW_s -\frac{1}{2}\int_0^tH_s^2 d_s)$ como la Derivada de Radon-Nikodym para encontrar una medida martingala equivalente, es decir, para definir una medida de probabilidad $\mathbb{Q}$ , s.t. $\frac{\mathrm{d}\mathbb{Q}}{\mathrm{d}\mathbb{P}}=Z_T$ .

Entonces $W_t^{\mathbb{Q}}=W_t+\int_0^tH_sds$ es un movimiento browniano estándar bajo $\mathbb{Q}$ .

Ahora, mi pregunta es, ya que $\mathbb{P}$ y ${\mathbb{Q}}$ son equivalentes, por el Teorema de Radon-Nikodym, existe un $\mathcal{F}_T$ -variable aleatoria medible $\Lambda$ , s.t. $\frac{\mathrm{d}\mathbb{P}}{\mathrm{d}\mathbb{Q}}=\Lambda$ ¿podemos calcular $\Lambda$ cuando $Z_T$ ¿se conoce?

Answer 1

El resultado que busca es $$ \left. \frac{d\Bbb{P}}{d\Bbb{Q}}\right\vert_{\mathcal{F}_t} = \left( \left. \frac{d\Bbb{Q}}{d\Bbb{P}}\right\vert_{\mathcal{F}_t} \right)^{-1} $$ Este es un resultado de la teoría de la medida, pero ya que lo mencionas, vamos a ver cómo podemos demostrarlo basándonos en el teorema de Girsanov.

Partiendo de las definiciones que usted proporciona e introduciendo algunas notaciones $$ Z_t = \left. \frac{d\Bbb{Q}}{d\Bbb{P}}\right\vert_{\mathcal{F}_t} = \exp\left( -\int_0^t H_s dW_s^\Bbb{P} - \frac{1}{2}\int_0^t H_s^2 ds \right) := \mathcal{E} \left( -\int_0^t H_s dW_s^\Bbb{P} \right) $$ donde $\mathcal{E}(X_t)$ cifra la exponencial estocástica del proceso $X_t$ es decir $$ \mathcal{E}(X_t) = \exp\left( X_t - \frac{1}{2} \langle X \rangle_t \right) $$ Del mismo modo, definamos el logaritmo estocástico $\mathcal{L}$ de un proceso $X_t$ tal que: $$ \mathcal{L}(\mathcal{E}(X_t)) = X_t $$

Lo que dice el teorema de Girsanov, es que el proceso en el LHS de la siguiente ecuación es un movimiento browniano bajo $\Bbb{Q}$ \begin{align} W_t^\Bbb{Q} &= W_t^\Bbb{P} - \left\langle W_s^\Bbb{P}, \mathcal{L}\left( \left. \frac{d\Bbb{Q}}{d\Bbb{P}}\right\vert_{\mathcal{F}_s} \right) \right\rangle_t \\ &= W_t^\Bbb{P} - \left\langle W_s^\Bbb{P}, -\int_0^s H_u dW_u^\Bbb{P} \right\rangle_t \\ &= W_t^\Bbb{P} + \int_0^t H_s ds \tag{1} \end{align} Ahora, dándole la vuelta a esto, se obtiene \begin{align} W_t^\Bbb{P} &= W_t^\Bbb{Q} - \int_0^t H_s ds \\ &:= W_t^\Bbb{Q} - \left\langle W_t^\Bbb{Q}, \mathcal{L}\left( \left. \frac{d\Bbb{P}}{d\Bbb{Q}}\right\vert_{\mathcal{F}_s} \right) \right\rangle_t \end{align} que muestra que (Girsanov "inverso") $$ \left. \frac{d\Bbb{P}}{d\Bbb{Q}}\right\vert_{\mathcal{F}_t} = \mathcal{E}\left( \int_0^t H_s dW_s^\Bbb{Q} \right) \tag{2} $$ A partir de $(2)$ utilizando la definición de la exponencial estocástica y diferenciando $(1)$ para introducirla en la expresión resultante, se obtiene \begin{align} \left. \frac{d\Bbb{P}}{d\Bbb{Q}}\right\vert_{\mathcal{F}_t} &= \exp\left( \int_0^t H_s dW_s^\Bbb{Q} - \frac{1}{2} \int_0^t H_s^2 ds \right) \\ &= \exp\left( \int_0^t H_s (dW_s^\Bbb{P} + H_s ds) - \frac{1}{2} \int_0^t H_s^2 ds \right) \\ &= \exp\left( \int_0^t H_s dW_s^\Bbb{P} + \frac{1}{2} \int_0^t H_s^2 ds \right) \\ &= Z_t^{-1} \\ &= \left( \left. \frac{d\Bbb{Q}}{d\Bbb{P}}\right\vert_{\mathcal{F}_t} \right)^{-1} \end{align}