El problema:
Dejemos que $T >0$ y que $(\Omega, \mathscr F, \{ \mathscr F_t \}_{t \in [0,T]}, \mathbb P)$ sea un espacio de probabilidad filtrado donde $\mathscr F_t = \mathscr F_t^W$ donde $W = \{W_t\}_{t \in [0,T]}$ es estándar $\mathbb P$ -Movimiento browniano.
Dejemos que $X = \{X_t\}_{t \in [0,T]}$ sea un proceso estocástico donde $X_t = W_t + \sin t$ y que $\mathbb Q$ sea una medida de probabilidad equivalente s.t. $X$ es estándar $\mathbb Q$ -Movimiento browniano.
Dar $\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$ .
Teorema de Girsanov:
Dejemos que $T >0$ y que $(\Omega, \mathscr F, \{ \mathscr F_t \}_{t \in [0,T]}, \mathbb P)$ sea un espacio de probabilidad filtrado donde $\mathscr F_t = \mathscr F_t^W$ donde $W = \{W_t\}_{t \in [0,T]}$ es el estándar $\mathbb P$ -Movimiento browniano.
Sea el núcleo de Girsanov $\{\theta_t\}_{t \in [0,T]}$ ser un $\mathscr F_t$ -proceso estocástico adaptado s.t. $\int_0^T \theta_s^2 ds < \infty$ a.s. y $\{L_t\}_{t \in [0,T]}$ es un $( \mathscr F_t , \mathbb P)$ martingala donde
$$L_t := \exp(-\int_0^t \theta_s dW_s - \frac 1 2 \int_0^t \theta_s^2 ds)$$
Dejemos que $\mathbb Q$ sea la medida de probabilidad definida por
$$Q(A) = \int_A L_T dP \ \forall A \in \ \mathscr F$$
o $$L_T = \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$$
Entonces $\{W_t^Q\}_{t \in [0,T]}$ definido por
$$W_t^Q := W_t + \int_0^t \theta_s ds$$
es estándar $\mathbb Q$ -Movimiento browniano.
La solución dada:
$$X_t = W_t + \int_0^t \cos s ds$$
Dejemos que $\theta_t = \cos t$ :
-
Es $\mathscr F_t$ -adaptado
-
$\int_0^T \theta_s^2 ds < \infty$ a.s.
-
$E[\exp(\frac 1 2 \int_0^T \theta_t^2 dt)] < \infty$
Entonces $\{L_t\}_{t \in [0,T]}$ es un $( \mathscr F_t , \mathbb P)$ martingala, por la condición de Novikov, donde
$$L_t := \exp(-\int_0^t \cos s dW_s - \frac 1 2 \int_0^t \cos^2 s ds)$$
Así, por el Teorema de Girsanov, tenemos
$$\frac{d\mathbb Q}{d\mathbb P} = L_T...?$$
¿Cómo se deduce exactamente esa última línea?
Lo que me parece extraño es que el Teorema de Girsanov define $\mathbb Q$ y luego concluye $X_t$ es estándar $\mathbb Q$ -Movimiento browniano mientras que el problema dice que hay algún $\mathbb Q$ s.t. $X_t$ es estándar $\mathbb Q$ -El movimiento browniano y luego se pregunta por $\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$ . ¿El problema está mal planteado?
Decir que $L_T$ es efectivamente la densidad requerida $\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$ Creo que tenemos que usar el La inversa del Teorema de Girsanov ), o tal vez el problema debería darnos en cambio $\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$ y luego nos piden que demostremos que $L_T = \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$ posiblemente mostrando que $E[\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} | \mathscr F_t] = L_t$ o alguna otra ruta.
Intenté algo ligeramente diferente:
Defino $\hat{\mathbb P}$ s.t.
$$L_T = \frac{d\hat{\mathbb P}}{d\mathbb P}$$
o
$$\hat{\mathbb P} = \int_A L_T d\mathbb P$$
Por el teorema de Girsanov se deduce que $X_t$ es estándar $\hat{\mathbb P}$ -Movimiento browniano. Puesto que se nos da que hay algún $\mathbb Q$ equivalente a $\mathbb P$ s.t. $X_t$ también es estándar $\mathbb Q$ -Browniano, se deduce por la unicidad de la derivada de Radon-Nikodym que
$$\frac{d\hat{\mathbb P}}{d\mathbb P} = \frac{d\mathbb Q}{d\mathbb P}$$
$\therefore, \frac{d\mathbb Q}{d\mathbb P}$ viene dada por $L_T$ .
¿Es eso cierto? Creo que me falta un paso en alguna parte.
Entonces, ¿es eso lo que se pretende con la solución dada, pero se omite señalar la unicidad de la derivada de Radon-Nikodym, si tal justificación es correcta?
Edición basada en este : Aunque la derivada de Radon-Nikodym sea única, $\mathbb Q$ puede no ser único? Si es así, ¿es entonces que $\hat{\mathbb P}$ no es más que un candidato a uno de los muchos posibles $\mathbb Q$ 's?
Creo que concluimos $\hat{\mathbb P} = \mathbb Q$ basado en $X_t$ siendo un movimiento browniano estándar bajo ambas medidas. ¿Existe una proposición para ello? ¿Unicidad de la medida del movimiento browniano o algo así?
