Por qué $N(d_1)$ y $N(d_2)$ son diferentes en Black & Scholes

Question

Me cuesta entender el significado de $d_1$ y $d_2$ en la fórmula Black & Scholes y por qué son diferentes entre sí.

Según la fórmula, $$C = SN(d_1) - e^{-rT}XN(d_2)$$

lo que significa que si se ejerce la opción de compra, uno recibiría las acciones y pagaría el precio de ejercicio.

Claramente, el pago del precio de ejercicio está condicionado a que la opción termine en dinero, es decir, el valor futuro de este pago es $X \cdot \mathbb{P} (S_T > X)$ por lo que el valor actual descontado sería $$e^{-rT}X \cdot \mathbb{P} (S_T > X)$$

De esto se deduce que Black & Scholes $N(d_2)$ es la probabilidad de ejercicio de la opción (con una medida neutral al riesgo).

Pero entonces debería seguirse lógicamente que la primera parte de la fórmula -recepción condicional de la acción- debería depender igualmente de la probabilidad mencionada, en cuyo caso su valor futuro sería $S e^{rT} \cdot \mathbb{P} (S_T > X)$ con el valor actual $S \cdot \mathbb{P} (S_T > X)$ por lo que la fórmula de Black & Scholes "debería ser" $$C = SN(d_2) - e^{-rT}XN(d_2)$$

Pero la fórmula utiliza $N(d_1)$ y puesto que $d_1 > d_2$ entiendo que da mayor probabilidad a recibir la acción que a pagar el precio de ejercicio.

Pasé por Comprender $N(d_1)$ y $N(d_2)$ : Probabilidades ajustadas al riesgo en el modelo Black & Scholes y también encontró esta explicación en Quora útil, pero sigo sin ver qué hay de fundamentalmente erróneo en la línea de pensamiento que he descrito antes.

Answer 1

El tiempo $t$ precio de una opción de compra europea sobre una acción que no paga dividendos con precio al contado $S_t$ cuando la huelga es $K$ y el tiempo hasta el vencimiento es $\tau = T − t$ es el valor esperado descontado de la retribución según la medida neutral al riesgo $Q$ $$C(t,{{S}_{t}},K,T)={{e}^{-r(T-t)}}\mathbb{E}_{t}^{Q}\,[{{({{S}_{T}}-K)}^{+}}]={{e}^{-r\tau }}\mathbb{E}_{t}^{Q}[({{S}_{T}}-K\,)\,{{1}_{\,{{S}_{T}}>K}}]$$ donde $1$ es la función indicadora, por lo que tenemos $$C(t,{{S}_{t}},K,T)=\underbrace{{{e}^{-r\tau }}\,\mathbb{E}_{t}^{Q}[S_T\,1_{S_T>K}]}_{J}-K e^{-r\tau}\,\underbrace{\mathbb{E}_{t}^{Q}[1_{S_T>K}]}_{I}$$ Por tanto, podemos escribir $$I=\mathbb{E}_{t}^{Q}[ 1_{S_T>K}]=Q(S_T>K)$$ En efecto, el valor esperado $\mathbb{E}_{t}^{Q}[ 1_{S_T>K}]$ es la probabilidad de que la opción de compra venza in-the-money según la medida $Q$ .

Evaluación de $J={{e}^{-r\tau }}\,\mathbb{E}_{t}^{Q}[S_T\,1_{S_T>K}]$ requiere cambiar la medida original $Q$ a otra medida $Q^S$ Considere la derivada de Radon-Nikodym $$\frac{dQ^S}{dQ}=\frac{{{S}_{T}}/{{S}_{t}}}{{{B}_{T}}/{{B}_{t}}}$$ donde $d{{B}_{t}}=r{{B}_{t}}dt$ o $B_t=e^{rt}$ . En consecuencia $${{e}^{-r\tau }}\mathbb{E}_{t}^{Q}[{{S}_{T}}{{1}_{{{S}_{T}}>K}}]={{S}_{t}}\mathbb{E}_{t}^{Q}\left[{{e}^{-r\tau }}\frac{{{S}_{T}}}{{{S}_{t}}}{{1}_{{{S}_{T}}>K}}\right]={{S}_{t}}\mathbb{E}_{t}^{Q}\left[\frac{{{S}_{T}}/{{S}_{t}}}{{{B}_{T}}/{{B}_{t}}}{{1}_{{{S}_{T}}>K}}\right]={{S}_{t}}\mathbb{E}_{t}^{{{Q}^{S}}}[{{1}_{{{S}_{T}}>K}}]$$ en otras palabras $$J={{e}^{-r\tau }}\,\mathbb{E}_{t}^{Q}[{{S}_{T}}{{1}_{{{S}_{T}}>K}}]={{S}_{t}}\mathbb{E}_{t}^{{{Q}^{S}}}[{{1}_{{{S}_{T}}>K}}]=S_t Q^S(S_T>K)$$ Esto implica que el precio de compra europeo de la ecuación se escriba en en términos de ambas medidas como $$C(t,{{S}_{t}},K,T)=S_t Q^S(S_T>K)- {{e}^{-r\tau}}K Q(S_T>K)$$ Bajo medida $Q$ , $S_T$ se distribuye como lognormal con media $m=\ln S_t+(r-\frac{1}{2}\sigma^2)\tau$ y varianza $\Sigma=\sigma^2\tau$ entonces

$$Q(S_T>K)=N\left(\frac{m-\ln K}{\sqrt{\Sigma}}\right)=N\left(\frac{\ln(S_T/K)+(r-\frac{1}{2}\sigma^2)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}\right)=N(d_2)$$

Answer 2

Obsérvese que, para el primer término, es \begin{align*} e^{-rT} \mathbb{E}(S_T \mathbb{I}_{S_T >X}), \end{align*} que no es igual a $e^{-rT}S\,\mathbb{P}(S_T >X)$ . Toma, $\mathbb{P}$ es la medida neutral del riesgo y $\mathbb{E}$ es el operador de expectativa correspondiente.

Sea $\tilde{\mathbb{P}}$ sea la medida de probabilidad con el proceso del precio de las acciones como numerario. Entonces \begin{align*} e^{-rT} \mathbb{E}(S_T \mathbb{I}_{S_T >X}) = S \tilde{\mathbb{P}}(S_T>X). \end{align*} Eso es, $N(d_1) = \tilde{\mathbb{P}}(S_T>X)$ mientras que $N(d_2) = \mathbb{P}(S_T>X)$ . Las diferentes medidas de probabilidad provocaron la diferencia entre $N(d_1)$ y $N(d_2)$ . Véase también el debate en la pregunta Comprender $N(d_1)$ ¿y cómo utilizar la propia acción como numerario? .