La comprensión de $N(d_1)$ y cómo utilizar el stock a sí mismo como el numeraire?

Question

Suponga que el precio de las acciones sigue un movimiento Browniano geométrico, a Continuación, en Black-Scholes modelo de fijación de precios, $N(d_2)$ es la neutrales al riesgo probabilidad de que la opción expira en el dinero. Sin embargo, se dice que $N(d_1)$ es también la probabilidad de que la opción expira en el dinero por debajo de la medida que utiliza la acción sí mismo como el numeraire.

Entiendo que el riesgo-neutral medida utiliza con descuento precio de la acción $\frac{S}{B}$ como el numeraire, pero ¿cómo se utiliza el stock de sí mismo como el numeraire?

Answer 1

Por @SKRX sugerencia, otra solución es proporcionada a continuación.

Por simplicidad, suponemos que el precio de las acciones en proceso $\{S_t \mediados de los t \geq 0\}$ es la continuación de una SDE, bajo el riesgo-neutral de la medida $\mathbb{Q}$, de la forma \begin{align*} \frac{dS_t}{S_t} = r dt + \sigma dW_t, \end{align*} donde $r$ es la tasa de interés constante, $\sigma$ es la constante volatilidad, y $\{W_t \mediados de los t \geq 0\}$ es un estándar de movimiento Browniano. Por otra parte, vamos $B_t = e^{rt}$ ser el mercado de dinero de la cuenta de valor en el tiempo $t$.

Tenga en cuenta que \begin{align*} (S_T-K)^+ &= (S_T-K)\mathbb{1}_{S_T >K}\\ &= S_T\mathbb{1}_{S_T >K} - K \mathbb{1}_{S_T >K}. \end{align*} A continuación, \begin{align*} e^{-rT} \mathbb{E}_{\mathbb{Q}}\big((S_T-K)^+ \big) &=e^{-rT}\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}\big(S_T\mathbb{1}_{S_T >K}\big) - K e^{-rT}\mathbb{Q}(S_T >K)\\ &=e^{-rT}\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}\big(S_T\mathbb{1}_{S_T >K}\big) - K e^{-rT}N(d_2). \end{align*} Para calcular la expectativa de $\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}\big(S_T\mathbb{1}_{S_T >K}\big)$, definimos la probabilidad de la medida $\widetilde{\mathbb{Q}}$, por lo que tenemos el Radon-Nikodym derivado de la forma \begin{align*} \frac{d\widetilde{\mathbb{Q}}}{d\mathbb{Q}}\big|_t &= \frac{S_t}{B_t S_0}\\ &=\exp\left(-\frac{\sigma^2}{2} t + \sigma W_t \derecho). \end{align*} Por el teorema de Girsanov, $\{\widetilde{W}_t \mediados de los t \geq 0\}$, donde \begin{align*} \widetilde{W}_t = W_t - \sigma t, \end{align*} es un estándar de movimiento Browniano en virtud de la probabilidad de la medida $\widetilde{\mathbb{Q}}$. Por otra parte, por debajo de los $\widetilde{\mathbb{Q}}$, \begin{align*} \frac{dS_t}{S_t} = \left(r+ \sigma^2 \derecho) dt + \sigma d\widetilde{W}_t. \end{align*} Tenga en cuenta también que \begin{align*} \frac{d\mathbb{Q}}{d\widetilde{\mathbb{Q}}}\big|_t &= \frac{B_tS_0}{S_t}. \end{align*} Por lo tanto, \begin{align*} e^{-rT}\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}\big(S_T\mathbb{1}_{S_T >K}\big) &=e^{-rT}\mathbb{E}_{\widetilde{\mathbb{Q}}}\left(\frac{d\mathbb{Q}}{d\widetilde{\mathbb{Q}}}\big|_T S_T\mathbb{1}_{S_T >K}\derecho)\\ &=S_0 \widetilde{\mathbb{Q}}(S_T >K)\\ &=S_0 N(d_1). \end{align*} Es decir, \begin{align*} e^{-rT} \mathbb{E}_{\mathbb{Q}}\big((S_T-K)^+ \big) &= S_0 \widetilde{\mathbb{Q}}(S_T >K) - K e^{-rT}\mathbb{Q}(S_T >K) \\ &= S_0 N(d_1) - K e^{-rT}N(d_2), \end{align*} que es la fórmula Black-Scholes.

Answer 2

Cómo utilizar la bolsa como Numeraire:

$$\mathbb{\tilde{E}}[e^{-rT}(S_T-K)^+]=\mathbb{\tilde{E}}\left[e^{-rT}S_T\left(1-\frac{K}{S_T}\right)^+\right]$$ $$=S_0\mathbb{\tilde{E}}\left[\frac{e^{-rT}S_T}{S_0} \left(1-\frac{K}{S_T}\derecho)^+\derecho]$$ $$=S_0\mathbb{\hat{E}}\left[\left(1-\frac{K}{S_T}\derecho)^+\derecho]$$ Donde $\mathbb{\hat{P}}$ el stock de la siguiente manera $dS=(r+\sigma^2)Sdt+\sigma S d\hat{W}_t$. El resto es sencillo cálculo.

Cómo $\mathcal{N}(d_1)$ es la probabilidad de que la opción expira en el dinero por debajo de la bolsa de medida:

La delta de una opción de compra es de $\frac{\partial C}{\partial S}$. Escribir el valor de una llamada opciones como $\mathbb{\tilde{E}}[e^{-rT}(S_T-K)^+]=\mathbb{\tilde{E}}[e^{-rT}(S_0e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})T+\sigma W_T}-K)^+]$ y tomando la derivada con respecto a $S_0$, $$\frac{\partial C}{\partial S}=\mathbb{\tilde{E}}\left[e^{-rT} e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})T+\sigma W_T})\mathbb{I}_{S_T>K}\derecho]$$ Donde $\mathbb{I}$ es la función del indicador. $$=\mathbb{\tilde{E}}\left[e^{\sigma W_T-\frac{T\sigma^2}{2}}\mathbb{I}_{S_T>K}\derecho]$$ $$=\mathbb{\hat{E}}\left[\mathbb{I}_{S_T>K}\derecho]=\mathbb{\hat{P}}(S_T>K)$$

Answer 3

Riesgo-neutral es sólo una de las muchas medidas posibles. Es el más común, ya que podemos descuento de un activo por la tasa libre de riesgo en virtud de esta medida. Por supuesto, podemos usar cualquier otra medida, tales como la fijación de precios en virtud de la bolsa de medida. Las matemáticas va a ser muy similar, usted todavía intenta formar una martingala en virtud de la medida.

En @Farahvartish la respuesta, básicamente, puede reemplazar N con cualquier cosa.