Replicar una cartera con una determinada función de remuneración

Question

Supongamos que hay dos acciones $S_1$ con precio $p_1(t)$ y $S_2$ con precio $p_2(t)$ donde $t$ indica la hora. Supongamos, que existe una derivada hipotética $D$ que es tal que, el precio de $D$ a la vez $t$ viene dado por $p_1(t)/p_2(t)$ .

¿Es posible encontrar una estrategia de cobertura dinámica que utilice acciones y bonos para construir este derivado?

En caso afirmativo, ¿cómo?

Answer 1

Una estrategia general de cobertura

Supongamos que $S_1(t)$ y $S_2(t)$ son los procesos de precios de sus 2 valores y que siguen un Movimiento Browniano Geométrico (GBM):

$$\forall \, i \in \{1,2\}, dS_i(t) =\mu_iS_i(t)dt + \sigma_iS_i(t)dW_i(t)$$

Suponemos que ambos valores tienen una correlación instantánea de $\rho$ :

$$dW_1(t)dW_2(t)=\rho dt$$

También $V(t)$ ser el valor o precio (justo) de un derivado que depende de los precios $S_1(t)$ y $S_2(t)$ a la vez $t$ . Construimos una cartera autofinanciada compuesta por $w_0(t)$ contratos de derivados, $w_1(t)$ acciones $1$ y $w_2(t)$ acciones $2$ . Su valor en $t$ , $\Pi(t)$ viene dado por:

$$\Pi(t) = w_0(t)V(t)+w_1(t)S_1(t)+w_2(t)S_2(t)$$

El valor de la cartera, al autofinanciarse, evoluciona en función de:

$$d\Pi(t) = w_0(t)dV(t) + w_1(t)dS_1(t) + w_2(t)dS_2(t)$$

Entonces tenemos $-$ tiempo de caída:

$$dV = \frac{\partial V}{\partial t}dt + \frac{\partial V}{\partial S_1}dS_1 + \frac{\partial V}{\partial S_2}dS_2 + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S_1^2}dS_1^2 + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S_2^2}dS_2^2 + \frac{\partial^2 V}{\partial S_1 \partial S_2}dS_1dS_2$$

En la ecuación diferencial anterior, multiplicada de nuevo por el peso $w_0(t)$ el elemento aleatorio es:

$$\frac{\partial V}{\partial S_1}w_0\sigma_1S_1dW_1 + \frac{\partial V}{\partial S_2}w_0\sigma_2S_2dW_2$$

Ahora, en $w_1(t)S_1(t)+w_2(t)S_2(t)$ el elemento aleatorio es:

$$w_1\sigma_1S_1dW_1 + w_2\sigma_2S_2dW_2$$

Estamos cubriendo el derivado $V(t)$ por lo que nuestra cartera debe ser sin riesgo y ganar el tipo sin riesgo :

• A partir de la condición sin riesgo, las fluctuaciones aleatorias deben anularse. Utilizando la ecuación del valor de la cartera, derivamos la estrategia de cobertura:

$$\begin{align} w_0(t) & = \frac{\Pi(t)}{V(t)-S_1(t)\frac{\partial V}{\partial S_1}-S_2(t)\frac{\partial V}{\partial S_2}} \\[12pt] w_1(t) &= -w_0(t)\frac{\partial V}{\partial S_1} \\[12pt] w_2(t) &= -w_0(t)\frac{\partial V}{\partial S_2} \end{align}$$

• Dejamos que $B(t) = e^{rt}$ sea un bono sin riesgo que devenga el tipo sin riesgo $r$ . Dado que la cartera debe ganar $r$ y asumiendo $\Pi(0)$ se normaliza para que sea igual a $1$ entonces $B(t)$ es una solución a la restricción de rentabilidad sin riesgo :

$$d\Pi(t) = r\Pi(t) dt$$

La expresión final de la cartera de cobertura es:

$$\begin{align} w_0(t) & = \frac{B(t)}{V(t)-S_1(t)\frac{\partial V}{\partial S_1}-S_2(t)\frac{\partial V}{\partial S_2}} \\[12pt] w_1(t) &= -w_0(t)\frac{\partial V}{\partial S_1} \\[12pt] w_2(t) &= -w_0(t)\frac{\partial V}{\partial S_2} \end{align}$$

Su pregunta

Ahora, en el caso particular de su derivada y interpretación estricta tu pregunta original:

" [...] precio de [el derivado] $D$ a la vez $t$ viene dado por $\frac{S_1(t)}{S_2(t)}$ . "

El precio viene dado entonces por:

$$V(t) = \frac{S_1(t)}{S_2(t)}$$

Tenemos $\partial V/\partial S_1 = 1/S_2 = V/S_1$ y $\partial V/\partial S_2 = -S_1/S_2^2 = -V/S_2$ de ahí la estrategia de cobertura sería ser:

$$\begin{align} w_0(t) &= \frac{B(t)}{V(t)} \\[12pt] w_1(t) &= -\frac{B(t)}{V(t)}\frac{\partial V}{\partial S_1} = -w_0(t)\frac{\partial V}{\partial S_1} \\[12pt] w_2(t) &= -\frac{B(t)}{V(t)}\frac{\partial V}{\partial S_2} = -w_0(t)\frac{\partial V}{\partial S_2} \end{align}$$

Sin embargo, no estoy seguro de que plantear el precio $V(t)$ es el enfoque correcto el precio del derivado a $t$ debe derivarse de su función de pago y de la PDE resultante de la condición de rentabilidad sin riesgo. Tras unos pocos pasos, obtendríamos la siguiente PDE $-$ tiempo de caída:

$$\begin{align} rV & = \frac{\partial V}{dt} + \frac{\partial V}{\partial S_1}rS_1 + \frac{1}{2}\frac{\partial^2V}{\partial S_1^2}\sigma_1^2S_1^2 + \frac{\partial V}{\partial S_2}rS_2 + \frac{1}{2}\frac{\partial^2V}{\partial S_2^2}\sigma_2^2S_2^2 + \frac{\partial^2V}{\partial S_1 \partial S_2}\sigma_1\sigma_2S_1S_2\rho \\[12pt] & = \frac{\partial V}{dt} + rw_1S_1 + \frac{1}{2}\frac{\partial^2V}{\partial S_1^2}\sigma_1^2S_1^2 + rw_2S_2 + \frac{1}{2}\frac{\partial^2V}{\partial S_2^2}\sigma_2^2S_2^2 + \frac{\partial^2V}{\partial S_1 \partial S_2}\sigma_1\sigma_2S_1S_2\rho \end{align}$$

Resolviéndolo se obtendría el valor de $V(t)$ . Tenga en cuenta que el peso $w_0$ no aparece en la EDP anterior porque los tres pesos $w_0$ , $w_1$ y $w_2$ puede escribirse en función de $w_0$ de ahí el término $w_0$ acaba cancelándose.

En este caso concreto, sustituyendo las derivadas por su expresión específica $-$ que podemos deducir del hecho de que $V(t) = S_1(t)/S_2(t)$ $-$ obtenemos:

$$\begin {align} & \: rV = 0 + rV + 0 - rV + \sigma_2^2V - \sigma_1\sigma_2\rho V \\[12pt] \Leftrightarrow & \: r = \sigma_2^2 - \sigma_1\sigma_2\rho \end{align}$$

Por lo tanto, estaríamos imponiendo una restricción a " mercado ". La forma correcta de proceder sería derivar una expresión para $V(t)$ dada la EDP anterior.

Un último ejemplo: $V(T)=\frac{S_1(T)}{S_2(T)}$

Supongamos que su derivada tiene la siguiente función de pago:

$$V_T=V(T)=\frac{S_1(T)}{S_2(T)}$$

Pasando a las herramientas de fijación de precios martingala, sabemos que:

$$\forall \, t \in [0,T], V_t = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[e^{-r(T-t)}\frac{S_1(T)}{S_2(T)}|\mathcal{F}_t\right]$$

Où $\mathbb{Q}$ es la medida neutral de riesgo. Definamos ahora $X_t = X(t) = S_1(t)/S_2(t)$ . Aplicando el lema de Ito $-$ y el tiempo de caída:

$$\begin{align} dX_t = \frac{dS_1}{S_2} - \frac{S_1dS_2}{S_2^2} + \frac{S_1dS_2^2}{S_2^3} - \frac{dS_1dS_2}{S_2^2} \\[12pt] \Leftrightarrow \frac{dX_t}{X_t} = \left(\mu_1-\mu_2-\sigma_1\sigma_2\rho+\sigma_2^2\right)dt +\sigma_1dW_1^{\mathbb{Q}} + \sigma_2dW_2^{\mathbb{Q}} \end{align}$$

Bajo la medida de riesgo neutral, $\mu_1=\mu_2=r$ . Dejar $W_i(t) = W_i^{\mathbb{Q}}(t)$ , después de unos pasos obtenemos:

$$\begin{align} X_T = X_te^{(\sigma_2^2-\sigma_1^2-4\sigma_1\sigma_2\rho)\frac{T-t}{2}+\sigma_1W_1(T-t)+\sigma_2W_2(T-t)} \end{align}$$

Aplicando el lema de Ito a $W_1(t)W_2(t)$ y usando la propiedad martingala de la integral de Ito, obtenemos:

$$\mathbb{Cov}[W_1(T-t),W_2(T-t)] = \rho (T-t)$$

Ahora, déjalo:

$$\begin{align} & Z(t) = (\sigma_2^2-\sigma_1^2-4\sigma_1\sigma_2\rho)\frac{t}{2}+\sigma_1W_1(t)+\sigma_2W_2(t) \\[6pt] & \mathbb{E}[Z(t)] = (\sigma_2^2-\sigma_1^2-4\sigma_1\sigma_2\rho)\frac{t}{2} \\[6pt] & \mathbb{V}[Z(t)] = \sigma_1^2t + \sigma_2^2t+2\sigma_1\sigma_2\rho t \end{align}$$

Obtenemos:

$$\mathbb{E}[X_T|\mathcal{F}_t] = X_te^{\sigma_2^2(T-t)-\sigma_1\sigma_2\rho (T-t)}$$

Por lo tanto

$$\forall \, t \in [0,T], V_t = \frac{S_1(t)}{S_2(t)}e^{(\sigma_2^2-\sigma_1\sigma_2\rho-r)(T-t)}$$

Hemos vuelto a la restricción de los parámetros de mercado derivada de la sección " Su pregunta ":

$$r = \sigma_2^2 - \sigma_1\sigma_2\rho \quad \Rightarrow \quad V_t = \frac{S_1(t)}{S_2(t)}$$

La estrategia de cobertura sería entonces:

$$\begin{align} & w_0(t) = \frac{S_2(t)}{S_1(t)}e^{(\sigma_1\sigma_2\rho-\sigma_2^2)(T-t)+rT} \\[12pt] & w_1(t) = -\frac{e^{rt}}{S_1(t)} \\[12pt] & w_2(t) = \frac{e^{rt}}{S_2(t)} \end{align}$$

Puede comprobarlo fácilmente $w_0(t)V(t)+w_1(t)S_1(t)+w_2(t)S_2(t) = B(t)$ .

Por fin podemos comprobarlo:

$$\begin{align} & \frac{\partial V}{dt} = -(\sigma_2^2-\sigma_1\sigma_2\rho-r)V \\[12pt] & \frac{\partial V}{\partial S_1}rS_1 = rV \\[12pt] & \frac{1}{2}\frac{\partial^2V}{\partial S_1^2}\sigma_1^2S_1^2 = 0 \\[12pt] & \frac{\partial V}{\partial S_2}rS_2 = -rV \\[12pt] & \frac{1}{2}\frac{\partial^2V}{\partial S_2^2}\sigma_2^2S_2^2 = \sigma_2^2V \\[12pt] & \frac{\partial^2V}{\partial S_1 \partial S_2}\sigma_1\sigma_2S_1S_2\rho = -\sigma_1\sigma_2\rho V \end{align}$$

Los términos se cancelan y nos queda la siguiente ecuación de identidad:

$$rV = rV$$

Por lo tanto $V(t)$ tal y como se ha derivado anteriormente, es una solución a la EDP de fijación de precios.

Otras referencias

Otras referencias relevantes de Wikipedia y del usuario @Gordon sobre la derivación de la estrategia de cobertura y la EDP de fijación de precios para un derivado $V(t)$ :

• Ecuación de Black-Scholes (Wikipedia)

• Diferencial Black Scholes (Stack Exchange Finanzas cuantitativas)

• Derivación del problema BS PDE mediante cobertura Delta (Stack Exchange Finanzas cuantitativas)