Black Scholes diferencial

Question

Estoy estudiando una licenciatura de la derivación y no entiendo una parte .Contamos con una cartera consistente en $\Delta(t)S(t)+B(t)$, donde el primer término es arriesgado y el segundo es un de bonos libres de riesgo. La parte que no entiendo es por qué cuando tomamos el diferencial de esta cartera se obtiene: $\Delta dS +dB$. Entiendo que la razón está relacionada con el hecho de que este es el límite de un discreto modelo, por lo que podemos imaginar $\Delta$ en función de $t$, con más pasos de longitud $\Delta t$ lo en el límite de $\Delta t \to0$. Pero esto significaría que $\frac{\partial \Delta}{\partial S}=0$ es $\frac{\partial^2}{\partial S^2}=0$, donde $O$ es la derivada. Podría alguien explicar mí este pasaje?

Answer 1

En general, usted no será capaz de replicar la opción por una cartera de la forma $\Delta_t S_t + B_t$, aunque es posible hacerlo con una cartera de la forma $\Delta_t^1 S_t + \Delta_t^2B_t$; véase el Capítulo 3 de este libro. Aquí, $B_t=e^{rt}$ es el valor de mercado de dinero de la cuenta, y $r$ es la tasa de interés sin riesgo.

Por otro lado, puede crear un localmente libre de riesgo de la auto-financiación de la cartera de la forma \begin{align*} X_t =\Delta_t^1 S_t + \Delta_t^2C_t, \etiqueta{1} \end{align*} donde $C_t$ es el precio de la opción (ver también esta pregunta). En concreto, se asume que el precio de las acciones en proceso $\{S_t, \, t > 0\}$ satisface, bajo la medida de probabilidad P$$, un SDE de la forma \begin{align*} dS_t = S_t(\mu dt + \sigma dW_t). \end{align*} Como $X_t$ es la auto-financiación, y \begin{align*} dX_t &= \Delta_t^1 dS_t + \Delta_t^2 dC_t\\ &= \Delta_t^1 S_t(\mu dt + \sigma dW_t) + \Delta_t^2\left(\frac{\partial C}{\partial t}dt + \frac{\partial C}{\partial S}dS_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 C}{\partial S^2} \sigma^2S_t^2 dt\derecho)\\ &=\left[\mu \Delta_t^1 S_t + \Delta_t^2\left(\frac{\partial C}{\partial t} + \mu S_t \frac{\partial C}{\S parcial} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 C}{\partial S^2} \sigma^2S_t^2 \derecho)\right]dt \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad + \left(\sigma\Delta_t^1 S_t + \sigma \Delta_t^2 S_t \frac{\partial C}{\partial S}\derecho)dW_t. \end{align*} Desde $X_t$ es localmente libre de riesgo, suponemos que $X_t$ gana el riesgo de tasa de interés libre de $r$, es decir, \begin{align*} dX_t = r X_t dt, \etiqueta{2} \end{align*} A continuación, \begin{align*} &\left[\mu \Delta_t^1 S_t + \Delta_t^2\left(\frac{\partial C}{\partial t} + \mu S_t \frac{\partial C}{\S parcial} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 C}{\partial S^2} \sigma^2S_t^2 \derecho)\right]dt \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad + \left(\sigma\Delta_t^1 S_t + \sigma \Delta_t^2 S_t \frac{\partial C}{\partial S}\derecho)dW_t= r X_t dt. \end{align*} En consecuencia, \begin{align*} \Delta_t^1 + \Delta_t^2\frac{\partial C}{\partial S}=0, \etiqueta{3} \end{align*} y \begin{align*} \mu \Delta_t^1 S_t + \Delta_t^2\left(\frac{\partial C}{\partial t} + \mu S_t \frac{\partial C}{\S parcial} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 C}{\partial S^2} \sigma^2S_t^2 \derecho) = r(\Delta_t^1 S_t + \Delta_t^2C_t), \end{align*} o, \begin{align*} \mu S_t\left(\Delta_t^1 +\Delta_t^2 \frac{\partial C}{\partial S}\derecho) + \Delta_t^2\left(\frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 C}{\partial S^2} \sigma^2S_t^2\derecho) &= r(\Delta_t^1 S_t + \Delta_t^2C_t)\\ &=r\Delta_t^2(-\frac{\partial C}{\partial S} S_t + C_t). \end{align*} Es decir, \begin{align*} \Delta_t^2\left(\frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 C}{\partial S^2} \sigma^2S_t^2\derecho) &= r\Delta_t^2(-\frac{\partial C}{\partial S} S_t + C_t). \etiqueta{4} \end{align*} Cancelar el plazo $\Delta_t^2$ de ambos lados de $(4)$, obtenemos el Black–Scholes ecuación de la forma \begin{align*} \frac{\partial C}{\partial t} + r S_t \frac{\partial C}{\S parcial} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 C}{\partial S^2} \sigma^2S_t^2 -rC = 0. \etiqueta{5} \end{align*}

Comentarios

Tenga en cuenta que la cantidad de $\Delta_t^2$ es cancelado desde ambos lados de $(4)$, entonces es tentador conjunto $\Delta_t^2=1$ y, en consecuencia, $\Delta_t^1 = - \frac{\partial C}{\partial S}$. Este es de hecho adoptadas por algunos de los libros, ver, por ejemplo, Introducción a las Matemáticas de los instrumentos Financieros Derivados, por Hirsa y Neftci, y contratos de Opciones, Futuros y Otros Derivados, por John Hull. Sin embargo, es fácil ver que la estrategia $\left(- \frac{\partial C}{\partial S}, 1\right)$ es no auto-financiación, y replicar el valor de la cartera, para un Europeo ejercicio de estilo de la vainilla de la opción call, \begin{align*} X_t = - \frac{\partial C}{\partial S} S_t+C_t = -Ke^{-r(T-t)}N(d_2) \end{align*} no satisfacer $(2)$.

La existencia de Auto-financiación de la Estrategia de

De $(1)$ y $(3)$ arriba, tenemos que \begin{align*} \Delta_t^1 = -\frac{\frac{\partial C}{\partial S} X_t}{C_t - \frac{\partial C} {\parcial S}S}, \quad \Delta_t^2 =\frac{X_t}{C_t - \frac{\partial C}{\partial S}S}. \end{align*} En el orden de $(2)$ para estar satisfechos, hemos establecido \begin{align*} \Delta_t^1 = -\frac{\frac{\partial C}{\partial S} B_t}{C_t - \frac{\partial C} {\parcial S}S},\quad \Delta_t^2 =\frac{B_t}{C_t - \frac{\partial C}{\partial S}S}. \end{align*} Luego, utilizando el Black–Scholes ecuación $(5)$, es fácil ver que \begin{align*} dB_t &= \Delta_t^1 dS_t + \Delta_t^2 dC_t. \end{align*} Es decir, $(\Delta_t^1, \Delta_t^2)$ es un auto-financiación de la estrategia.

Además, podemos deducir la existencia mediante la martingala teorema de representación; ver Shreve. Específicamente, deje que $\lambda = (\mu-r)/\sigma$, y definir el riesgo-neutral probabilidad de medida $Q$ que \begin{align*} \frac{dQ}{dP}\big|_t = e^{-\frac{1}{2}\lambda^2 t - \lambda W_t}. \end{align*} Entonces $\tilde{W}= \{\tilde{W}_t, t \ge 0\}$, donde $\tilde{W}_t = W_t + \lambda t$ es un estándar de movimiento Browniano por debajo de los $P$. Por otra parte, \begin{align*} dS_t = S_t(r dt + \sigma d\tilde{W}_t), \end{align*} o \begin{align*} d\left(\frac{S_t}{B_t}\right) = \frac{S_t}{B_t}\sigma d\tilde{W}_t, \end{align*}

Vamos a $C_T$ ser la opción de pago al vencimiento $T$. Entonces \begin{align*} C_t = B_tE_Q\left(\frac{C_T}{B_T}\mid \mathcal{F}_t \derecho), \end{align*} donde $E_Q$ es la expectativa de operador en virtud de la probabilidad de la medida $P$ y $\mathcal{F}_t$ es el conjunto de información en tiempo $t$. Tenga en cuenta que, $\{C_t/B_t, t \ge 0\}$ es una martingala. Por lo tanto, por la martingala teorema de representación, no existe un adecuado proceso de $\{\kappa_t, 0\le t \le T\}$ tal que \begin{align*} \frac{C_t}{B_t} &= C_0 + \int_0^t \kappa_u d\tilde{W}_u\\ &=C_0 + \int_0^t \frac{B_u\kappa_u}{\sigma S_u} d\left(\frac{S_u}{B_u}\derecho) :\equiv C_0 + \int_0^t \gamma_u d\left(\frac{S_u}{B_u}\derecho), \end{align*} donde $\gamma_t = \frac{B_t\kappa_t}{\sigma S_t}$, de $0\le t \le T$. Entonces \begin{align*} dC_t &= d\left(B_t \frac{C_t}{B_t} \derecho)\\ &=rC_t dt + B_t\gamma_t d\left(\frac{S_t}{B_t}\derecho)\\ &=r(C_t -\gamma_tS_t) dt + \gamma_t dS_t.\la etiqueta{6} \end{align*} Buscamos procesos adaptados $\{\Delta_t^1, 0\le t \le T\}$ y $\{\Delta_t^2, 0\le t \le T\}$ tal que \begin{align*} B_t &=\Delta_t^1 S_t + \Delta_t^2C_t,\etiqueta{7} \end{align*} y \begin{align*} dB_t &= \Delta_t^1 dS_t + \Delta_t^2dC_t\\ &=\Delta_t^1 dS_t + r \Delta_t^2 (C_t -\gamma_tS_t) dt + \Delta_t^2\gamma_t dS_t. \end{align*} Entonces \begin{align*} \Delta_t^1 + \Delta_t^2\gamma_t=0. \etiqueta{8} \end{align*} De $(7)$ y $(8)$, \begin{align*} \Delta_t^1 = -\frac{\gamma_t B_t}{C_t - \gamma_t S_t}, \quad \Delta_t^2 =\frac{B_t}{C_t - \gamma_t S_t}. \end{align*} Es entonces claro que \begin{align*} \Delta_t^1 S_t + \Delta_t^2 C_t = B_t. \end{align*} Por otra parte, a partir de $(6)$, \begin{align*} \Delta_t^1 dS_t + \Delta_t^2dC_t &=rB_t dt = dB_t. \end{align*} Es decir, $(\Delta_t^1, \Delta_t^2)$ es un auto-financiación de la estrategia de negociación.