Tengo $\frac{dS_t}{S_t} = rdt + \sigma dW_t$ como es habitual bajo el numéraire del mercado monetario y necesito valorar opciones con pagos
$$(S_T f(S_T))^+$$
Cómo expreso la dinámica de las acciones utilizando la acción como numéraire, y cómo obtengo la distribución de las acciones bajo la medida equivalente.
Dejemos que $P$ sea la medida neutral de riesgo. Definimos la medida $P_S$ tal que \begin{align*} \frac{dP_S}{dP}\big|_t &=\frac{S_t}{e^{rt}S_0}\\ &=e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 t+\sigma W_t}. \end{align*} Entonces $\{\widehat{W}_t \mid t \ge 0\}$ , donde \begin{align*} \widehat{W}_t = W_t -\sigma t, \end{align*} es un movimiento browniano estándar bajo la medida $P_S$ . Además, bajo $P_S$ , \begin{align*} \frac{dS}{S} &= rdt + \sigma dW_t\\ &=\big(r+\sigma^2\big)dt + \sigma d \widehat{W}_t. \end{align*} Es decir, el proceso de comilla de las acciones $S$ sigue siendo log-normal. El precio de la opción viene dado entonces por \begin{align*} e^{-rT}E\Big(\big(S_Tf(S_T) \big)^+\Big) &= e^{-rT}E_S\bigg(\Big(\frac{dP_S}{dP}\big|_T\Big)^{-1}\big(S_Tf(S_T) \big)^+\bigg)\\ &=S_0E_S\left(\big(f(S_T) \big)^+\right), \end{align*} donde $E$ y $E_S$ son respectivamente los operadores de expectativa bajo las medidas $P$ y $P_S$ .
Cómo deducir que $\{\widehat{W}_t \mid t \ge 0\}$ es un movimiento browniano estándar? ¿Teorema de Girsanov?
¿Puedo saber qué versión del Teorema de Girsanov está aplicando? El Girsanov que conozco se refiere a la medida neutral de riesgo. Hace poco que he empezado a aprender la medida a plazo, así que no estoy familiarizado con el Teorema de Girsanov para la medida a plazo.
Dejemos que $\text{d}S_t = \mu S_t \text{d}t +\sigma S_t\text{d}W_t$ . bajo la medida del mundo real
Con $S_t$ siendo numérico, entonces $e^{rt}/S_t$ debe ser una martingala bajo la medida martingala equivalente.
Bajo la medida del mundo real, $\frac{e^{rt}}{S_t}= \exp(rt -\mu t-\sigma W_t+\frac{1}{2}\sigma^2t)$ , donde $W_t$ es un movimiento browniano bajo esta medida.
Ahora hay que hacer una transformación Cameron-Martin-Girsanov para que $\frac{e^{rt}}{S_t}$ un martignale. Lo esencial se reduce a $r-\mu+\frac{1}{2}\sigma^2 = -\frac{1}{2}\sigma^2$ o $\mu = r+\sigma^2$ .
por lo que bajo la medida de riesgo neutral con $S_t$ siendo numeraire, $S_t=S_0\exp(r+\sigma^2t-\frac{1}{2}\sigma B_t)$ , donde $B_t$ es un movimiento browniano bajo la medida de riesgo neutral.. Para encontrar el tiempo $t<T$ valor $V_t$ de un activo con pago $S_TF(S_T)$ entonces
$\frac{V_t}{S_t} = \mathbb E[\frac{S_TF(S_T)}{S_T}|\mathcal{F}_t]=E[F(S_T)|\mathcal{F}_t]$
Tenga en cuenta, por ejemplo, que si $F(\cdot) = (K-\cdot)^+$ En el caso de la fórmula de Black-Scholes, también se puede utilizar, aunque hay que calcular el parámetro adecuado y es posible que haya que multiplicar por un factor. Básicamente, esto se debe a que $S_t$ sigue teniendo una distribución log-normal.
No está claro por qué $\frac{\exp(rt)}{S_{t}}$ ¿debe ser una martingala? Desde mi punto de vista, según el teorema de Radone-Nikodime $\frac{N(t)D(t)}{N(0)}$ define una nueva medida, donde $N(t)=S_{t}$ y $D(t)=\exp(-rt)$ y esto debe ser una martingala bajo la medida real. Por lo tanto, $\mu=r+\sigma^{2}$ y esta medida se define con $\exp((r+\sigma^{2})t+\frac{1}{2} \sigma W_{t})$ .
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