¿Cómo puedo utilizar el teorema de Radon-Nikodym para demostrar que la medida hacia adelante es realmente una medida?

Question

Las siguientes afirmaciones están tomadas de la página de Wikipedia para la medida de avance .

Dejemos que $$B(T)=\exp \left(\int _{0}^{T}r(u)\,du\right)$$ sea el numerario de la cuenta bancaria o de la cuenta del mercado monetario y $$D(T)=1/B(T)=\exp \left(-\int _{0}^{T}r(u)\,du\right)$$ sea el factor de descuento en el mercado en el momento 0 para el vencimiento T. Si $Q_{*}$ es la medida neutra de riesgo, entonces la medida a plazo $Q_{T}$ se define a través del Derivado de Radon-Nikodym dado por $$\frac{dQ_{T}}{dQ_{*}}={\frac {1}{B(T)E_{Q_{*}}[1/B(T)]}}={\frac {D(T)}{E_{Q_{*}}[D(T)]}}.$$

¿Cómo puedo utilizar el Teorema de Radon-Nikodym para demostrar que $Q_T$ definida anteriormente es realmente una medida?

Answer 1

Sólo para añadir brevemente a la respuesta superior de Daneel, empezar con $$Q_T[A]:=E_{Q_*}\left[1_A \frac{D(T)}{E_{Q_*}[D(T)]}\right].$$

1. Desde $D(T)>0$ tenemos que $Q_T$ es siempre no negativo. Como siempre, $Q_T[\emptyset]=0$ y $Q_T[\Omega]=1$ .

2. Dejemos que $A_1,A_2,...$ sea una secuencia de conjuntos disjuntos tomados de $\mathcal{F}$ . Entonces, \begin{align*} Q_T\left[\bigcup_{k=1}^\infty A_k\right] &= E_{Q_*}\left[1_{\bigcup_{k=1}^\infty A_k}\frac{D(T)}{E_{Q_*}[D(T)]}\right] \\ &= \sum_{k=1}^\infty E_{Q_*}\left[1_{A_k}\frac{D(T)}{E_{Q_*}[D(T)]}\right] \\ &= \sum_{k=1}^\infty Q_T\left[1_{A_k}\right], \end{align*} donde la segunda igualdad proviene de la división del dominio integral.

Answer 2

Introducción

Técnicamente, no creo que necesites el teorema de Radon-Nikodym aquí. Ese teorema supone la existencia de dos medidas de probabilidad equivalentes $Q_1$ y $Q_2$ y afirma que debe existir una variable aleatoria $\xi$ tal que $Q_2$ se define como la expectativa de $\xi$ en $Q_1$ . Lo que se necesita aquí es más parecido al Teorema 1.6.1 de Shreve (2004), es decir, dada una medida $Q_1$ y una variable aleatoria $\xi$ , demostrar que se puede construir una medida de probabilidad bien definida $Q_2$ .

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Derivado de Radon-Nikodym

Dejemos que $(\Omega,\mathcal{F},Q_*)$ sea un espacio de probabilidad dotado de la filtración $\{\mathcal{F}_t\}_{t\geq 0}$ , donde $Q_*$ es la medida neutral de riesgo. $B(t)$ se define como la cuenta del mercado monetario, y $P(t,T)$ como el bono de cupón cero con vencimiento $0\leq t\leq T$ . Tenemos: $$P(0,T)=E^{Q_*}\left(\left.\frac{B(0)}{B(T)}\right.\right)$$ Por definición, $B(t)>0$ , lo que implica $P(t,T)>0$ . Definamos la variable aleatoria $\xi$ : $$\xi:=\frac{B(0)P(T,T)}{B(T)P(0,T)}$$ Por lo anterior, la variable aleatoria $\xi$ es estrictamente positivo. Además, bajo la medida de riesgo neutral $Q_*$ , $\xi$ tiene la expectativa $1$ por la propiedad de martingala de los pagos descontados: $$E^{Q_*}\left(\xi\right)=\frac{B(0)}{P(0,T)}E^{Q_*}\left(\frac{P(T,T)}{B(T)}\right)=1$$ Por lo tanto, $\xi$ es una derivada de Radon-Nikodym válida y podemos definir la $T$ -medida anticipada $Q_T$ como sigue, para cualquier $F\in\mathcal{F}$ : $$Q_T(F):=E^{Q_*}\left(\xi 1_{F}\right)=\int_{\omega\in F}\xi(\omega) dQ_*(\omega)$$

1) Imagen en $[0,1]$ : observe que, para cualquier $F\in\mathcal{F}$ : $$0 \leq 1_F \leq 1_\Omega$$ Así: $$0\leq E^{Q_*}\left(\xi 1_F\right)\leq E^{Q_*}\left(\xi 1_\Omega\right)=\int_{\omega\in \Omega}\xi(\omega) dQ_*(\omega)=E^{Q_*}\left(\xi\right)=1$$

2) Aditividad contable de conjuntos disjuntos : observe que, para cualquier $F_1,F_2\in\mathcal{F}$ tal que $F_1\cap F_2=\emptyset$ : $$1_{F_1\cup F_2}=1_{F_1}+1_{F_2}-1_{F_1\cap F_2} = 1_{F_1}+1_{F_2}$$ que generaliza. Así, para una secuencia infinita y contable de eventos $F_1, F_2, \dots$ se puede utilizar el hecho de que $0\leq 1_{\cup_{n>0} F_n}<2$ para invocar el teorema de convergencia dominada y concluir que: $$\begin{align}\sum_{n>0}Q_T(F_n) =\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i\leq n}\int_\Omega\xi(\omega)1_{F_i}(\omega)dQ_*(\omega) &=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_\Omega\xi(\omega)1_{\cup_{i\leq n}F_i}(\omega)dQ_*(\omega) \\ &=\int_\Omega\xi(\omega)1_{\cup_{n>0} F_n}(\omega)dQ_*(\omega) \\[8pt] &=Q_T(\cup_{n>0} F_n) \end{align}$$

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Proceso derivado de Radon-Nikodym

Se puede extender la derivada de Radon-Nikodym a cualquier momento $t\in(0,T]$ construyendo el proceso de derivación Radon-Nikodym. Esto se hace a través de la expectativa condicional: $$\xi(t):=E^{Q_*}\left(\xi|\mathcal{F}_t\right)=E^{Q_*}\left(\left.\frac{B(0)P(T,T)}{B(T)P(0,T)}\right|\mathcal{F}_t\right)=\frac{B(0)P(t,T)}{B(t)P(0,T)},$$ donde hemos utilizado el hecho de que cualquier activo negociado rebasado por la cuenta del mercado monetario es una martingala bajo $Q_*$ . Puede comprobar fácilmente las propiedades demostradas para $t=0$ se trasladan.

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Referencias

Steven Shreve. Cálculo estocástico en finanzas II: Modelos de tiempo continuo . Springer, 2004.

Answer 3

Como mi hilo de comentarios a la respuesta de Daneel se hizo aún más largo que su respuesta original, he pensado en poner mis comentarios aquí por separado.

Creo que la cita de la wiki se refiere al siguiente hecho simple:

Si se tiene una medida integrable no negativa $f$ en un espacio de probabilidad $(\Omega, \mu),$ el $\nu(A) = \int_A f d\mu$ siempre define una medida sobre $\Omega.$ En particular, no hay necesidad de comprobar cosas como la aditividad contable, simplemente se deduce de las propiedades correspondientes de la integral.

En general, si $\int_\Omega f d\mu > 0,$ se puede normalizar esta medida sea una medida de probabilidad: $\nu(A) = \frac1Z \int_A f d\mu,$ donde $Z = \int_\Omega f d\mu$

En este caso $f$ referida como derivada de Radon-Nikodym ya está normalizada, por lo que se obtiene una medida de probabilidad.