¿Cómo se obtiene la fórmula del VEV (volatilidad equivalente al VaR) en el documento del PRIIP?

Question

El normativa reciente (página 32) sobre los PRIIP requiere calcular una volatilidad equivalente al VaR definida como

$$\mbox{VEV}=\frac{\sqrt{3.842-2\ln \mbox{VaR}}-1.96}{\sqrt{T}}$$

¿Alguien tiene idea de cómo llegaron a esa fórmula?

Answer 1

Supongamos que T=1 y que S es un proceso geométrico gaussiano con deriva cero, es decir $\ln(S_1/S_0)$ se distribuye normalmente con la media $-1/2\times\mathrm{VEV}^2$ y la volatilidad VEV.

Entonces

$$\ln(\mathrm{VaR}/S_0) = -1/2\mathrm{VEV}^2 - \mathrm{VEV} \times 1.96$$ con el VAR en $0.975$ cuantil.

Esta es una ecuación cuadrática en VEV, con soluciones

$$\mathrm{VEV} = -1.96 \pm \sqrt{1.96^2 - 2\ln(\textrm{VaR}/S_0)}.$$

Tomamos la solución positiva y ya está.

Answer 2

Para responder a esta pregunta podría tener sentido mencionar la parte del VaR y la del VEV por separado.

1. Ejemplo de VaR utilizando un enfoque paramétrico del VaR: suponiendo una inversión de $V_0 = 10,000$ en el activo financiero y su rendimiento diario logarítmico siguiendo una distribución normal tal que $r_t \backsim N(\mu, \sigma^2)$ con la media $\mu=0.02$ y la desviación estándar $\sigma = 0.7$ calcular el VaR de la inversión en $p = 2.5\%$ durante 1 día. Dado que el VaR puede definirse de varias maneras, por ejemplo, como valor $\bigtriangleup V_1$ en la que la inversión puede depreciarse o como valor $V_1$ ( $V_1 < V_0$ ), que muestra el nuevo nivel de la inversión, en el ejemplo se utiliza la última definición. La solución sería:
   $$\begin{equation} VaR = V_t(exp(\Phi^{-1}(0.025)\sigma + \mu)). \end{equation}$$ El cuantil 2,5 de la distribución normal estándar es $\Phi^{-1}(0.025)$ es de -1,96. $$\begin{equation} 10,000(exp(-1.96 * 0.7 + 0.02)) = 2587.22, \end{equation}$$ lo que significa que con probabilidad $2.5\%$ una inversión en un día de 10.000 en el activo será de 2587,22 o menos.

2. Como se puede adivinar, dada una hipótesis de distribución normal de la rentabilidad logarítmica diaria y un VaR ya calculado, por ejemplo mediante una simulación de Montecarlo, se puede inferir $\sigma$ . Parece que una de las preguntas a las que responde VEV es: "¿cuál sería un parámetro de escala etiquetado $\sigma$ de una variable aleatoria con distribución normal, si se asume una distribución "degradada" $N(-\dfrac{1}{2} \sigma T, \sigma^2T)$ y el valor del cuantil 2,5 en el nivel del VaR. $T$ denota el periodo en años.
   [ consulte este enlace para obtener más información sobre T y la hipótesis de distribución ¿Es este un método alternativo de fijación de precios de las opciones viable? ]. $$\begin{equation} VaR = V_t(exp(\Phi^{-1}(0.025)\sigma \sqrt{T} +(-\dfrac{1}{2} \sigma T) )), \end{equation}$$ que se reescribe como una ecuación cuadrática: $$\begin{equation} \dfrac{1}{2} T\sigma^2 + 1.96\sqrt{T}\sigma + \ln{\dfrac{VaR_0}{V_0}}=0, \end{equation}$$ que puede resolverse para sigma mediante el discriminante como $ax^2 + bx + c = 0$ cuando $\sigma$ sustituye al $x$ . Por último, al despreciar una solución negativa se obtiene la fórmula VEV: $$\begin{equation} \sigma = \dfrac{\sqrt{3.8416-2\ln{\dfrac{VaR_0}{V_0}}}-1.96}{\sqrt{T}}. \end{equation}$$