¿Se aplica el modelo Black-Scholes a las opciones de estilo americano?

Question

Después de leer el artículo de Wikipedia sobre el modelo Black-Scholes, me parece que solo se aplica a las opciones europeas basado en esta cita:

El modelo Black-Scholes (pronunciado /blæk olz/1) es un modelo matemático de un mercado financiero que contiene ciertos instrumentos de inversión derivados. A partir del modelo, se puede deducir la fórmula de Black-Scholes, que da el precio de las opciones de estilo europeo.

y

Las opciones americanas y las opciones sobre acciones que pagan un dividendo en efectivo conocido (a corto plazo, más realista que un dividendo proporcional) son más difíciles de valorar, y hay una variedad de técnicas de solución disponibles (por ejemplo, mallas y redes).

¿Es esto correcto? Si es así, ¿existe un modelo similar para las opciones de estilo americano? Mi entendimiento previo era que el precio de las opciones se basaba en su valor intrínseco + el valor temporal. Sin embargo, realmente no estoy seguro de cómo se llega a estos valores.

Encontré esta pregunta/respuesta relacionada, pero no aborda esto directamente: ¿Por qué las opciones de estilo americano valen más que las opciones de estilo europeo?

Answer 1

La diferencia entre una opción americana y europea es que la opción americana se puede ejercer en cualquier momento, mientras que la opción europea solo se puede liquidar en la fecha de vencimiento. La opción americana es un instrumento de "tiempo continuo", mientras que la opción europea es un instrumento de "punto en el tiempo". Black Scholes se aplica a esta última opción, europea. Bajo "ciertas" circunstancias (pero no todas), las dos son lo suficientemente cercanas como para considerarse como sustitutos.

Uno de sus discípulos, Robert Merton, lo "ajustó" para describir las opciones americanas. Hay debates sobre esto, y otros ajustes, años más tarde.

Answer 2

Black-Scholes es "suficientemente cercano" para las opciones americanas ya que generalmente no hay razones para ejercer temprano, por lo que la capacidad de hacerlo no importa. Lo cual es bueno ya que es difícil de modelar matemáticamente, he leído.

El ejercicio temprano generalmente sería causado por una extraña sobrevaloración por alguna razón técnica / de acción de mercado donde las valoraciones teóricas de la opción están desordenadas. Si vendes una call que está muy en el dinero y no obtienes ningún valor temporal (después del spread), por ejemplo, probablemente vendiste la call a un arbitrajista que simplemente la va a ejercer. Pero cosas inusuales como esta no cambian mucho el panorama general.

Answer 3

Solo algunas observaciones dentro del marco de Black-Scholes:

• Las opciones de compra americanas tienen el mismo precio que las opciones de compra europeas en activos que no pagan dividendos.
• La fórmula de Black-Scholes es aplicable solo a opciones europeas (y, según lo anterior, a las opciones de compra americanas en activos que no pagan dividendos).
• Por la paridad entre llamadas y puts, si tienes los precios de las opciones de compra europeas para algunas fechas de vencimiento y precios de ejercicio, también tienes los precios de las opciones de venta europeas para esas fechas de vencimiento y precios de ejercicio.
• Si tienes los precios de las opciones de compra europeas para una fecha de vencimiento T para todos los precios de ejercicio, puedes calcular fácilmente el precio de cualquier pago "europeo" para ese vencimiento (por ejemplo, una llamada digital V = 1_{S>K}, o una parábola V = S^2, o lo que sea). Conceptualmente, formas spreads de mariposa __/\_ para una serie de precios de ejercicio crecientes, y te dan la probabilidad "neutral al riesgo" de que termines allí, y luego solo integras sobre tu pago.

En cuanto a lo siguiente, ahora puedes usar el marco de Black-Scholes (el precio de la acción es un Movimiento Browniano Geométrico, sin costos de transacción, una única tasa de interés, etc.) y métodos numéricos (como un solucionador de EDP) para calcular numéricamente el precio de opciones de estilo americano, pero no con una fórmula cerrada simple (aunque existen aproximaciones de fórmulas cerradas).

Answer 4

Una pequeña tangente. Uno puede afirmar que el S&P tiene un retorno promedio de aproximadamente un 10%, y una desviación estándar de aproximadamente un 14%, pero al analizarlo, se descubre que los retornos reales no se ajustan tan bien a la curva de campana estándar. Las anomalías del mercado producen la "inundación de 100 años" mucho más a menudo de lo predicho incluso en un período de 20 años. Esto simplemente significa que el modelo no refleja la realidad en las colas, incluso si las +/- 2 desviaciones estándar parecen bastante.

Esto también se aplica al modelo Black-Sholes (casi lo abrevié a iniciales, pero luego pensé mejor, en realidad me gusta el modelo). La distinción entre opciones americanas y europeas es lo suficientemente pequeña como para que la precisión del modelo sea más amplia que la diferencia entre estos dos estilos de opción. Creo que si se analiza el modelo y el precio real, se puede determinar la volatilidad de una acción determinada utilizando precios alrededor del precio de ejercicio, pero al modelar las opciones muy fuera de dinero, a menudo se encuentra al mercado creando su propia valoración.

Answer 5

Como no hay ventaja de ejercer la opción de compra americana temprano, podemos usar la fórmula de Black-Scholes para evaluar la opción. Sin embargo, es más probable que la opción de venta americana se ejecute temprano, lo que significa que Black-Scholes no se aplica para este estilo de opción.