¿Qué es Ito lema utilizado en finanzas cuantitativas?

Question

En respuesta a mi pregunta aquí: antes de publicar

y que dejó algunos puntos sin respuesta, me han reformulado la pregunta de la siguiente manera:

¿Qué es Ito lema utilizado en finanzas cuantitativas? y cuando es aplicable?

No entiendo, por ejemplo, si Ito lema es utilizado para la obtención de un SDE de un proceso estocástico o a la inversa: obtener un proceso estocástico de un SDE.

Además vonjd la respuesta es un poco confundir a mí: qué significa "Ito del lexema puede

sólo

o

también

se utiliza para los procesos con la limitada variación cuadrática?

Answer 1

Una forma común de utilizar Ito lema es también para resolver la SDEs.

El ejemplo más clásico (supongo) es el movimiento Browniano geométrico:

$$dX_t = \mu X_t dt + \sigma X_t dW_t$$

y esto se puede resolver fácilmente mediante la aplicación de Itô del lexema con

$$f(x)=\ln(x)$$

Ese es el BnB ejemplo:

$$f'(x)=\frac{1}{x}$$ $$f"(x)=-\frac{1}{x^2}$$

y por Itô:

$$d(ln(X_t))=\frac{1}{X_t} dX_t -\frac{1}{2X_t^2} d<X_t>$$ $$d(ln(X_t))=\mu dt + \sigma dW_t - \frac{\sigma^2}{2} dt$$ $$d(ln(X_t))=\mu dt + \sigma dW_t - \frac{\sigma^2}{2} dt$$ $$d(ln(X_t))=(\mu - \frac{\sigma^2}{2}) dt + \sigma dW_t$$

Y luego,

$$ln(X_t)-ln(X_0)=ln(\frac{X_t}{X_0})=(\mu - \frac{\sigma^2}{2})(t-0) + \sigma W_t$$ $$X_t=X_0 \exp^{(\mu - \frac{\sigma^2}{2})t + \sigma W_t}$$

Esto significa que $X_t$ es registro-normalmente distribuida...

Dicho modelo se utiliza en el más común (y por lo tanto trivial), derivado de precios de marco como el de Black y Scholes Modelo.

Otro ejemplo es el de Ornstein–Uhlenbeck que puede ser resuelto usando un tipo diferente de $f(x)$.

Answer 2

Si se le da un proceso de difusión de $X_t$ y $C^{1,2}$ de transformación $Y_t=f(t,X_t)$ de el proceso de $X_t$.

Luego Itô del lexema le da la SDE seguido por el proceso de $Y_t$ en $dX_t$, y $dt$ y derivadas parciales de $f$ a de orden 1 en el tiempo y 2 en $x$.

Si se le da la SDE seguido por $X_t$ en términos de movimiento Browniano, la deriva, y la difusión plazo, entonces usted puede escribir el SDE de $Y_t$ en términos de movimiento Browniano, la deriva, y la difusión plazo.

Esta muestra en particular que diffusions son estables por ese tipo de transformaciones.

No hay nada más y nada menos.

Por supuesto, usted puede extender este lema en varios de fantasía y sofisticación de las formas.

Saludos

Answer 3

Comprar copias de Brent Oksendal del "Ecuaciones Diferenciales Estocásticas Una Introducción con Aplicaciones" y Thomas Bjork del "Arbitraje de la Teoría en Tiempo Continuo." Estos están bien escritos los libros de texto de nivel de grado. No puedo prometer que va a ser sin dolor, pero si se quiere entender de tiempo continuo derivado de modelos de precios, estos son un buen lugar para comenzar.

Otra opción es no preocuparse de modelos de tiempo continuo y obtener una copia de Stanley R. Pliska "Introducción a la Matemática de las Finanzas." Él es un graduado de libros de texto que cubren modelos de tiempo discreto. El uso de estos modelos de todo lo que usted necesita saber es álgebra lineal y de cómo optimizar las ecuaciones lineales utilizando el método simplex. (no debe confundirse con la simple optimización numérica del algoritmo.)

Sin rodeos puesto: Ito de Integración puede verse de dos maneras. 1) Como una incompleta de Riemann Integral de Stieltjes 2) Una extendida Integral de Lebesgue.

Si usted no tiene ninguna idea de lo que cualquiera de las dos cosas, ir con la descrete modelos de tiempo.