Métodos de Monte carlo para la vainilla opciones europeo y el lema de Ito.

Question

Entiendo que mediante la aplicación del lema de Ito a la siguiente SDE

$$dX=\mu\,X\,dt+\sigma\,X\,dW$$

se obtiene una solución al anterior a la SDE, que es como sigue:

$${X}\left( t\right) =\mathrm{X}\left( 0\derecho) \,{e}^{\sigma\,\mathrm{W}\left( t\derecho) +\left( \mu-\frac{{\sigma}^{2}}{2}\derecho) \,t}$$

Me han dicho que puedo usar cualquiera de estas ecuaciones (SDE o su solución) para la aplicación de simulaciones de monte carlo para la vainilla Europea opciones aunque la segunda converge más rápido que la primera.

Alguien puede confirmar esta instrucción?

Además, hay un punto que queda claro para mí: ¿Qué es Ito lema utilizado en finanzas cuantitativas?

Answer 1

La diferencia entre las dos es que la primera te llevará a un esquema de discretización del proceso.

Así que usted tendrá que simular un todo (aproximado) la trayectoria de (es decir, que $X'_{t_0},...,X'_{t_n}$) hasta el momento de $T$ (de la expiración de su vainilla opción) para llegar a $X'_T$, que es entonces sólo una aproximación de $X_T$.

El segundo método es exacto y le da la ley de $X_T$ en un sólo paso.

Yo simplemente no conseguir su segunda pregunta.

Answer 2

En finanzas cuantitativas, a veces nos encontramos seleccionando un nuevo modelo estocástico para lo que el mercado de las variables son aleatorias, y cómo. Por ejemplo, alguien podría decidir que les gusta la SDE \begin{ecuación} dS = \mu\ S\ dt + \left( \frac{S_0}{S} \derecho)^{\frac32} \sigma\ S\ dW \end{ecuación} porque quieren capturar un efecto de apalancamiento.

Ahora, esta SDE puede o no puede tener una forma cerrada de la solución. Por ejemplo, en su pregunta, \begin{ecuación} X(t)=X(0)\ \exp{\left( σW(t)+(µ − \frac{σ^2}2)t\right)} \end{ecuación} es la solución para el Black-Scholes SDE. Por otro lado, no estoy seguro si el apalancamiento SDE de arriba tiene una solución.

Ito Lema es la herramienta matemática que podemos utilizar para probar que una posible solución a nuestro SDE realmente satisface los SDE. Así, en la práctica, que es donde se utiliza activamente en finanzas cuantitativas.

El lema también subyace en muchos de los estocástico de cálculo utilizado en finanzas cuantitativas, por ejemplo, el teorema de Girsanov, pero esos usos están "ocultos debajo de" desde la matemática pura es razonablemente maduro por ahora.

Hablar sobre la cuestión de la convergencia, si usted posee una solución a su favorito de la SDE, entonces usted puede simular valores terminales $S_t$ del proceso después de macroscópica bits de tiempo $t$. Que permite simular, por ejemplo, $M$ valores de la opción al vencimiento de tiempo $t$ y a la media para formar una estimación de su valor esperado en costo computacional $S(M)$. Si usted no posee una solución, entonces se debe generar cada $S_t$ mediante la simulación de una ruta de acceso completa $S$ a partir del tiempo 0 al tiempo $t$ en $J$ incrementos pequeños de tamaño $\Delta t$, usando su SDE en sí, al coste computacional $O(J \times M)$.

Answer 3

Para responder a la pregunta más general que parece estar dando problemas, Ito lema es que el estocástico versión de la regla de la cadena de estándar de cálculo.

Lo que es útil para? Eso es como preguntar cuál es la regla de la cadena es útil para. El cálculo es útil en finanzas cuantitativas, y en particular, para los procesos estocásticos, es necesario utilizar la versión estocástica de cálculo. Para calcular las derivadas en este cálculo estocástico, se necesita una regla de la cadena, y eso es lo que Ito lema proporciona.

Sospecho que usted nunca pensó lo que la regla de la cadena normal de cálculo es útil para. Una vez que usted entiende que, es claro lo que usted necesita Ito lema para.

Answer 4

Para añadir a la respuesta de TheBridge:

Entiendo tu segunda pregunta, en el sentido de que si usted puede usar Ito lema para todos los procesos estocásticos. Este definitivamente no es el caso: también se puede utilizar para procesos con delimitada cuadrático de variación (por ejemplo, proceso de Wiener) - usted debe de google este término o buscar en la wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_variation

Answer 5

Si tenemos algo de la función $f(a,b,c,...)$, donde $a,b,c,...$ puede ser estocástico o de otra manera, el lema de Ito se utiliza a encontrar $df(a,b,c,...)$.

1)

Usted puede simplemente hacer las primas de Monte Carlo. Considere la posibilidad de un contingente de reclamación de maduración en $6$ meses. A continuación, para cada i $$-ésimo de la simulación se puede calcular:

$S(T)_i = S(t)e^{(r-q-\frac12 \sigma^2)0.5 + \sigma \sqrt{0.5}z_i)}$

donde $z_i \sim N(0,1)$ y $\sqrt{\Delta t}(z_i)$ es igual a la distribución a $W_{\Delta t}$.

2)

Puede utilizar la metodología anterior, pero crear una ruta de ejemplo. Por ejemplo, usted podría querer generar un 6-punto de recorrido de la muestra. Que es;

$S(t_i) = S(t_{i-1})e^{(r-q-\frac12 \sigma^2)\frac{0.5}{6} + \sigma \sqrt{\frac{0.5}{6}}z_i)}$

para $i \in \{2,3,4,5,6,7\}$.

3)

Puede discretizar los SDE en sí el uso de Euler-Marayama.

$\Delta S(t_i) = a(t,S)\Delta t + b(t,S)\Delta W(t_i)$

4)

Puede discretizar el SDE el uso de Milstein:

$\displaystyle \ \ \Delta S(t_i) = a(t,S)\Delta t + b(t,S)\Delta W(t_i) + 0.5 b(t,S)\frac{\partial b(t,S)}{\partial S}\bigg((\Delta W(t_i))^2 - \Delta t\bigg)$

5)

Considerar las anteriores metodologías a ser la función $f(v)$, donde $v$ son sus números aleatorios. Puede utilizar un control de la variable aleatoria $g(v)$ de la siguiente manera:

$\frac1N \sum_{i=1}^N [ f(v_i) - g(v_i) ] + E[g(v)]$.

En la práctica usted desea utilizar correlaciones y otras cosas para mejorar el resultado; sin embargo, esta es la forma en que se presentan a los estudiantes. $E[g(v)]$ podría ser la forma cerrada de BS precio, $g(v_i)$ podría ser el de monte carlo BS precio de un instrumento sencillo, $f(v_i)$ puede ser algo realmente complicado instrumento que se correlaciona estrechamente con $g(.)$.

6)

Usted puede utilizar antitético de muestreo. Es decir,

$\text{MC estimación} = \frac12 [ f(v) + f(-v)]$.

Hay algunas condiciones técnicas que usted necesita para satisfacer a hacer de esto vale la pena el extra de cálculo.