Elasticidad y logaritmos

Question

Consideremos una relación entre $ y $ y $ x $, $ y = a x^b $. Tomando el logaritmo en ambos lados, tenemos $$ \log y = \log a + b \log x $$

Ahora, mi libro de texto, Principios Básicos y Extensiones de Nicholson y Snyder, deriva la relación entre la elasticidad y el logaritmo de las dos variables de la siguiente manera:

$$ \eta = b = \frac{ d \log y}{d \log x} $$

Ahora, entiendo que $ d \log y = \frac 1y dy $ y $ d \log x = \frac 1x \ dx $. Entonces entiendo por qué podemos escribir $ \eta = \frac {d \log y}{d \log x} $. Lo que no entiendo es: ¿por qué $ b $, que es la potencia sobre la variable $ x $, es igual a $ \eta $?

Aquí tienes una captura de pantalla del libro:

Answer 1

Debido a que $a$ es un parámetro, y por lo tanto $$ \eta = \frac{ d \log y}{d \log x} = \frac{ d \log a + d \ b \log x}{d \log x} = 0 + b. $$

Answer 2

Diferenciando ambos lados de la ecuación con respecto a $x$, utilizando la regla de la cadena para el lado izquierdo y notando que, dado que $a$ es un parámetro, $da/dx=0$: $$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=b\frac{1}{x}$$ Rearreglando: $$\frac{dy/y}{dx/x}=\eta=b$$